圆锥曲线-椭圆
圆锥曲线指用一个平面截一个圆锥得到的图形的总称，包括圆、椭圆、双曲线、抛物线。圆锥曲线在数学、物理学等领域有广泛运用，其大量的几何性质也使得圆锥曲线在现实中也有大量的应用。早在古希腊时期，数学家阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中就用几何方法将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有研究空间。现在，解析几何常用于解决椭圆问题。椭圆的应用极其广泛，天体运动轨迹也常常显示出椭圆。
一、第一定义
一般的，圆锥曲线的定义可以被分为三个定义，其中第一定义一般指的是图形上的点到某些点的距离进行某些运算是一个定值。椭圆的第一定义又可以引出若干几何性质。
- 定义：到两定点距离之和为定值的点形成的轨迹叫做椭圆，这两个定点称为焦点；
严格来说，若令两定点的距离之和为 \(2a\)，两个焦点的距离为 \(2c\)，则：
- \(2a>2c\)，轨迹是一个椭圆；
- \(2a=2c\)，轨迹是两个焦点连成的线段；
- \(2a<2c\)，轨迹不存在；
- 轨迹方程：设椭圆上的点到两定点的距离为 \(2a\)，两个焦点之间的距离为 \(2c\)，设 \(b^2=a^2-c^2\)。要求 \(a^2 > b^2\)；
显然，\(2a\) 即为焦点所在直线与椭圆的两交点的距离（称为长轴），\(2b\) 即为两焦点的垂直平分线与椭圆的两个交点之间的距离（称为短轴）。
分类讨论：
- 焦点在 \(x\) 轴上，
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
- 焦点在 \(y\) 轴上，
\[\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1
\]
- 椭圆的三角换元：根据 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)，我们不难想到将椭圆上的点表示为三角函数的形式；
以焦点在 \(x\) 上为例，则 \((a\cos\theta,b\sin\theta)\) 即为椭圆上的点。代入即可证明；
同时，使用三角换元易证，设$P$在椭圆上，$O$为原点，$|PO|\in[b,a]$； - 焦点三角形：以 \(C:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 为例，令 \(b^2=a^2-c^2\)；
- 定义：设椭圆两焦点为 \(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，\(P(x,y) \in C\)，则称 \(\Delta F_1 F_2 P\) 为焦点三角形；
- 周长：
\[C_\Delta= |PF_1| + |PF_2| + |F_1F_2| = 2 ( a + c )
\]
- 面积：
\[S_\Delta = \frac{1}{2} |F_1F_2| |y_P| = c |\ y_P\ |\ ①
\]
\[S_\Delta = b^2\tan \frac{∠F_1PF_2}{2}\ ②
\]
（注：关于 ② 的证明，参见百度百科）
- 推论：由 ① 得，当 \(P\) 位于短轴与椭圆交点时，\(S_\Delta\) 取最大值；
那么由 ② 知，由于 \(0 \le \frac{∠F_1PF_2}{2} \le \frac{\pi}{2}\)，那么 \(\tan \frac{∠F_1PF_2}{2}\) 单增，则当 \(P\) 位于 \((0,b)\) 或 \((0,-b)\) 时，\(∠F_1PF_2\) 取最大值。
二、第二定义
第二定义一般是图形上的点到一个定点和一条准线的距离之比是一个定值，这个定值被定义为离心率。而离心率又可以引发出许多性质定理。
- 定义：以 \(F(c,0)\) 为焦点，\(l:x=\frac{a^2}{c}\) 为准线，若平面内有一点 \(M\)，满足 \(\frac{|\ MF\ |}{d_{M-l}}=\frac{c}{a}\)，则 \(M\) 的轨迹为 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)；
- 离心率（\(e\)）：沿用第一点的内容：
- 定义：\(e=\frac{|\ MF\ |}{d_{M-l}}\)；
- 范围：\(e \in (0,1)\)；
- 其几何意义表示椭圆的扁圆程度，离心率相等的椭圆相似。\(e \longrightarrow 0\)，椭圆更圆；\(e \longrightarrow 1\)，椭圆更扁。形象记忆为：\(\red{1扁0圆}\)；
- 焦半径：沿用第一点的内容，其中 \(F_1,F_2\) 分别表示椭圆的左右焦点，设 \(M(x_M,y_M)\)：
- 定义：椭圆上一点到一焦点的距离；
- 长度公式：\(|\ MF_1\ |=a+ex_M，|\ MF_2\ |=a-ex_M\)；
- 取值范围：对于任意左右焦点 \(F\)，\(|\ MF\ | \in [a-c,a+c]\)，当 \(M\) 为 \((-a,0)\) 时取最小值，为 \((a,0)\) 时取最大值。
三、第三定义
第三定义可以视为中点弦定理的特例，在做小题的时候有强大的威力，可以使用点差法证明中点弦定理定理。
- 定义：\(x\) 轴上两定点 \(A(-a,0),B(a,0)\)，若存在点 \(P\)，设 \(PA,PB\) 的斜率为 \(k_{PA},k_{PB}\)，使得 \(k_{PA}k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}\)，则 \(P\) 的轨迹方程为 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。反之亦然；
- 推论：若 \(A,B\) 是椭圆上关于原点对称的两点，则在同一椭圆上任意一点 \(P\)，设 \(PA,PB\) 的斜率为 \(k_{PA},k_{PB}\)，都有 \(k_{PA}k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}\)；
这里假设椭圆是 \(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，给出证明：
\[\begin{array}{l}
证明：令 A(x,y),B(-x,-y),P(x_0,y_0);\\
∴原式=k_{PA}k_{PB}=\frac{y_0-y}{x_0-x} \cdot \frac{y_0+y}{x_0+x}=\frac{y_0^2-y^2}{x_0^2-x^2};\\
∵A,B,P \in C;\\
∴\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1;\\
\Longrightarrow y^2=b^2(1-\frac{x^2}{a^2}),y_0^2=b^2(1-\frac{x_0^2}{a^2});\\
∴原式=\frac{y_0^2-y^2}{x_0^2-x^2}=\frac{b^2-\frac{b^2x_0^2}{a^2}-b^2+\frac{b^2x^2}{a^2}}{x_0^2-x^2}=-\frac{b^2}{a^2}.
\end{array}\]
- 中点弦定理：设直线 \(MN\) 与椭圆 \(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 交于 \(M,N\) 两点，\(MN\) 中点为 \(P\)，则 \(k_{MN}k_{OP}=-\frac{b^2}{a^2}\)。若焦点在 \(y\) 轴上，则 \(k_{MN}k_{OP}=-\frac{a^2}{b^2}\)；
我们不妨假设焦点在 \(x\) 轴上，给出证明：
- 思路一：设而不求（没有用韦达定理，所以没有整体带入，我不是很认可）：
\[\begin{array}{l}
证明：令 MN:y=kx+m，M(x_1,y_1),N(x_2,y_2);\\
∴k_{MN}k_{OP}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \cdot \frac{\frac{y_1+y_2}{2}}{\frac{x_1+x_2}{2}}=\frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=\frac{b^2-\frac{b^2}{a^2}x_1^2-b^2+\frac{b^2}{a^2}x_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-\frac{b^2}{a^2}.
\end{array}\]
怎么证完突然发现这才是最好用的方法？！
- 思路二：点差法：
\[\begin{array}{l}
证明：设 M(x_1,y_1),N(x_2,y_2);\\
则 P(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\Longrightarrow(x_0,y_0);\\
∴
\left \{
\begin{array}{l} % l 靠左、c 居中、r 靠右
\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1\ \ \ ①\\
\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1\ \ \ ②
\end{array}
\right.
\red{带点}\\
∴①-② \Longrightarrow \frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{a^2}+\frac{(y_1+y_2)(y_1-y-2)}{b^2}=0;
\red{作差}\\
∴\frac{x_0(x_1-x_2)}{a^2}+\frac{y_0(y_1-y_2)}{b^2}=0;\\
∴\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}k_{MN}k_{OP}=0;
\red{变形}\\
∴k_{MN}k_{OP}=-\frac{b^2}{a^2}.
\end{array}\]
四、几何关系
上述已经列举了椭圆的几个基本的几何性质，如离心率、焦半径等，但是其实椭圆还有更多的几何性质乃至光学性质。具体可以参阅这个网站。
- 位置关系：
- 直线和椭圆的位置关系包括：相离、相切、相交，类似于圆；
- 判断方法：联立直线和椭圆的解析式，根据推导出的一元二次方程的 \(\Delta\)，从而得到位置关系；
- 弦长公式：设直线\(AB\)与椭圆交于点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，则有：
\[|\ AB\ |=\sqrt{1+k^2}|\ x_1-x_2\ |=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|\ y_1-y_2\ |
\]
- 焦点弦：假设椭圆方程为 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)：
- 定义：过焦点的直线与椭圆的两交点形成的线段叫做焦点弦；
- 通径：过焦点且与对称轴垂直的焦点弦称为通径；
- 通径的性质：最短的焦点弦；
- 通径的长度：\(\frac{2b^2}{a}\)；
- 焦点弦取值范围：\([\frac{2b^2}{a},2a]\)；
- 蒙日圆：在椭圆 \(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 上任意两垂直切线的交点在一个半径为 \(\sqrt{a^2+b^2}\)，圆心为原点的圆上。这个圆称为蒙日圆。
五、写在最后
本文是作者复习信息学半脱产面对文化课危机时状态极差的情况下写出来的奇奇怪怪的用来复习文化课尤其是最有难度公式最多最难记住的圆锥曲线的椭圆的可能很多地方都有谬误或者省略导致读者有歧义疑惑的可以随时联系我指正谢谢你的阅读哦！
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