【LeetCode & 剑指offer刷题】动态规划与贪婪法题2:14 剪绳子

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14 剪绳子

题目:给你一根长度为n的绳子,请把绳子剪成m段 (m和n都是整数,n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m].请问k[0]*k[1]*...*k[m-1]可能的最大乘积是多少?
例如,当绳子的长度为8时,我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段,此时得到的最大乘积是18.
 
思路:首先定义函数f(n)为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。在剪第一刀时,我们有n-1种选择,也就是说第一段绳子的可能长度分别为1,2,3.....,n-1。因此f(n)=max(f(i)*f(n-i)),其中i = 1,2,3...n/2。
这是一个自上而下的递归公式。由于递归会有大量的不必要的重复计算。一个更好的办法是按照从下而上的顺序计算,也就是说我们先得到f(2),f(3),再得到f(4),f(5),直到得到f(n)。
当绳子的长度为2的时候,只能剪成长度为1的两段,所以f(2) = 1,当n = 3时,容易得出f(3) = 2;
//动态规划:从上往下分析问题,从下往上解决问题
#include <stdio.h> 
#include<math.h> 
 
// ====================动态规划==================== 
int maxProductAfterCutting_solution1(int len) 
{ 
    if(len < 2) //长度为1时直接返回0
        return 0; 
    if(len == 2) //题目已经要求必须剪断,m>1,故长度为2时,最大乘积为1,长度为3时,最大乘积为2
        return 1; 
    if(len == 3) 
        return 2; 
 
    vector<int> A(len+1); //多开辟一个空间,最后一个用来存储最大值
    A[0] = 0; //当n<=3时,A[n]存储的是绳子的长度,方便之后式子迭代
    A[1] = 1; 
    A[2] = 2; 
    A[3] = 3; 
 
    for(int i = 4; i <= len; i++)  
        for(int j = 1; j <= i / 2; j++) //i=4~len, j= 1~i/2
        { 
            A[i] = max(A[i], A[j]*A[i-j]);//前一项用来不断更新A[i],并不是代表不剪(如果想加入不剪断的情况,可以与i比较)
        } 
    return A[len]; 
} 
 
//需要证明局部最优可以得到全局最优,如果不能确切的证明就不要用贪婪法
// ====================贪婪算法==================== 
int maxProductAfterCutting_solution2(long int length) 
{ 
    if(length < 2) 
        return 0; 
    if(length == 2) 
        return 1; 
    if(length == 3) 
        return 2; 
 
    // 尽可能多地减去长度为3的绳子段 
    int timesOf3 = length / 3; 
 
    // 当绳子最后剩下的长度为4的时候,不能再剪去长度为3的绳子段。 
    // 此时更好的方法是把绳子剪成长度为2的两段,因为2*2 > 3*1。 
    if(length - timesOf3 * 3 == 1) 
        timesOf3 -= 1; 
 
    int timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) / 2; 
 
    return (long int) (pow(3, timesOf3)) * (long int) (pow(2, timesOf2)); 
} 
 
 

 

posted @ 2019-01-05 20:19  wikiwen  阅读(1064)  评论(0编辑  收藏