上海市计算机学会竞赛平台2023年3月月赛丙组

T1 神奇的字母序列

题目描述
给定一个由”L"，"C“，”R“三个字母组成的循环序列：”LCRLCRLCRLC⋯“，这个序列的循环节为“LCR”。
现在给定一个数字n，请求出这个序列的第n位是哪个字母。
输入格式
单个整数：表示 n。
输出格式
单个字符：表示字母序列的第n个字母。
数据范围
对于 50% 的数据，1≤n≤1,000,000
对于 100% 的数据，1≤n≤1,000,000,000
样例数据
输入:
5
输出:
C

无话可说。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n;
string s="RLC";

signed main(){
	cin>>n;
	cout<<s[n%3]<<endl;
	return 0;
}

T2 约数的分类

题目描述
古希腊数学家尼科马霍斯（Nicomachus）根据整数的真因数之和与该数的大小关系，将整数分为三类：
当这个整数的所有真因数之和大于其本身时，称该数为过剩数（Abundant）
当这个整数的所有真因数之和小于其本身时，称该数为不足数（Deficient）
当这个整数的所有真因数之和恰好等于其本身时，称该数为完美数（Perfect）
所谓 a 的真因数是 a 的因数且小于 a 的数。给定一个正整数 n，请判断它是过剩数，不足数还是完美数。
输入格式
单个整数：表示给定的数字。
输出格式
根据输入整数的分类，输出 Abundant、Deficient 或 Perfect。
数据范围
对于 50% 的分数，1≤n≤1,000,000
对于 100% 的分数，1≤n≤2,000,000,000
样例数据
输入:
6
输出:
Perfect
说明:
6=1+2+3
输入:
7
输出:
Deficient
说明:
7是素数只有一个真因子1
输入:
12
输出:
Abundant
说明:
1+2+3+4+6>12

枚举因子（注意要加上1但不要加上n）。
会超时，优化到$sqrt(n)$，一次找一对因子，但是要注意完全平方数的因子会被算重。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n,ans=1;

signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=2;i*i<=n;++i)
		ans+=n%i==0?(i*i==n?i:i+n/i):0;
	if(ans<n)cout<<"Deficient"<<endl;
	else if(ans>n)cout<<"Abundant"<<endl;
	else cout<<"Perfect"<<endl;
	return 0;
}

T3 循环播放

题目描述
又是一年春暖花开，小爱与家人一起开车出游，在漫长的路途上，他开始播放自己的歌单以舒缓疲劳。
小爱的歌单中有n首歌，其中第 i 首歌的时长为 $t_i$分钟，这些歌将以循环的方式播放，即播放完第 n 首歌后，会继续播放第 1 首歌。
小爱出发那一刻起，从第 1 首歌开始循环播放整个歌单，请问当 T 分钟后到达目的地时，正在播放第几首歌？
输入格式
第一行，一个正整数n，表示歌单中曲目数
第二行，n个正整数$t_1$,$t_2$,…,$t_n$，分别表示每首歌的时长
第三行，一个正整数T，表示开车时间
输出格式
输出到达目的地时，正在播放的歌曲编号。
数据范围
对于30%的数据，1≤n≤10,1≤$t_i$,T≤10³
对于60%的数据，1≤n≤10⁵,1≤$t_i$,T≤10⁸
对于100%的数据，1≤n≤10⁵,1≤$t_i$,T≤10¹⁸
样例数据
输入:
5
3 6 2 4 5
24
输出:
2
输入:
5
3 6 2 4 5
20
输出:
5

首先T对歌单总时长取模得到删除了循环节的歌单，再挨个枚举算出是第几首歌。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n,T,t[100010],a[100010];

signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>t[i];
		a[i]=a[i-1]+t[i];
	}
	cin>>T;
	T%=a[n];
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(a[i]>T){
			cout<<i<<endl;
			return 0;
		}
	return 0;
}

在此更正一下错误！！！
因为对于100%的数据，1≤n≤10⁵,1≤$t_i$,T≤10¹⁸，所以在对总和取模时可能会爆long long，但是，注意到T≤10¹⁸，所以如果总和>T取模就不必了，从而避免高精度。

//代码有一些繁琐
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

bool f=0;
int n,T,t[100010],a[100010];

signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>t[i];
	}
	cin>>T;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(T-t[i]<a[i-1]){
			cout<<i<<endl;
			return 0;
		}
		a[i]=a[i-1]+t[i];
	}
	T%=a[n];
	if(T==0)T+=a[n];
	for(int i=1;i<=n;++i){
		T-=t[i];
		if(T<0){
			cout<<i<<endl;
			return 0;
		}
	}
	cout<<n<<endl;
	return 0;
}

T4 数对的个数

题目描述
现在给定两个长度为n的正整数序列$a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n$。
问存在多少对数对(i,j),1≤i<j≤n满足$\frac{a_i}{a_j}=\frac{b_j}{b_i}$
输入格式
输入第一行，一个正整数n，表示序列的长度。
接下来nn行，每行两个正整数$a_i,b_i$ 。
输出格式
单个整数：表示表示满足题意的数对的个数。
数据范围
对于 50% 的数据，$1\le n\le 1000$
对于 100% 的数据，$1\le n\le 1,000,000,1\le a_i,b_i\le 1000$
样例数据
输入:
3
4 5
3 8
10 2
输出:
1

对等式化简得到：$a[i]\ast b[i]=a[j]\ast b[j]$
由于$a[i]\ast b[i]\le 1000000$，所以可以开数组记录，m[i]表示乘积为i的数对个数，再利用排列组合，方案数就是$m[i]\ast (m[i]-1)/2$

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int ans,n,b[1000010],a[1000010],m[1000010];

signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>a[i]>>b[i];
		++m[a[i]*b[i]];
	}
	for(int i=1;i<=1000010;++i)
		ans+=m[i]*(m[i]-1)/2;
	cout<<ans<<endl;
}

T5 选取子段

题目描述
给定一个长度为nn的序列 $a_1,a_2,...,a_n$，请问多少种方案，能够从中选取一个长度恰好为 m 的子段，且子段内所有数字的最大值不超过K？
输入格式
输入共两行：
输入第一行，三个正整数n,m,K
输入第二行，n个整数$a_1,a_2,...,a_n$ 。
输出格式
输出一个整数，表示方案数。
数据范围
对于 30% 的数据，$1\le m\le n\le 10$
对于 60% 的数据，$1\le m\le n\le 10^3$
对于 100% 的数据，$1\le m\le n\le 10^5$且$-10^9\le a_i,K\le 10^9$
样例数据
输入:
5 2 5
3 7 2 5 1
输出:
2
说明:
选取{2,5}和{5,1}均可，共两种方案

利用前缀和，记录前i个数中大于k的个数进行枚举。
不过我是维护一个变量，首先初始值为前m个中大于k的个数，接下来每一次m串中都会去掉前面的数，加上后面的数，因此判断这两个数是否大于k，维护该变量。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int m,k,n,a[100010],maxn,ans;

signed main(){
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=m;++i)
		maxn+=a[i]>k;
	ans+=maxn?0:1;
	for(int i=2;i<=n-m+1;++i){
		maxn-=(a[i-1]>k)-(a[i+m]>k);
		ans+=maxn?0:1;
	}
	cout<<ans<<endl;
}