算法普及1

初识复杂度

时间复杂度表示程序运行占用时间的多少，是评估算法效率的重要指标。一般表示为关于 n 的某个函数。其中 n 往往对应输入数据的规模，用 T(n) 表示。

若有某个辅助函数 f(n) ，存在一个正常数 c 使得 f(n)×c>=T(n) 恒成立。记作 T(n)=O(f(n)) ，称 O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

时间复杂度常用大 O 符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。

运行效率由低到高：

O(nⁿ)>O(n!)>O(kⁿ)>O(n^k)>O(n$\sqrt{n}$)>O(nlog(n))>O(n)>O($\sqrt{n}$)>O(log(n))>O(1)
t4:

最小周长

一个矩形的面积为S，已知该矩形的边长都是整数，求所有满足条件的矩形中，周长的最小值。例如：S = 24，那么有{1 24} {2 12} {3 8} {4 6}这4种矩形，其中{4 6}的周长最小，为20。

输入格式

输入1个数S(1 <= S <= 10^9)。

输出格式

输出最小周长。

输入样例

20

输出样例

20

思路

即求s被分解成两个最相近的整数的乘积
从1到$\sqrt{s}$包含了其中一边的长度
为了使相邻两边差最小，从$\sqrt{s}$开始向1找

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=sqrt(n);i>=1;i--)
		if(n%i==0){
			printf("%d",2*((n/i)+i));
			return 0;
		}
}

时间复杂度为O($\sqrt{n}$)

和为K的倍数

小b喜欢和为K的倍数的序列。
现在有一个长度为n的序列A，请问A有多少个非空连续子序列是小b喜欢的。

输入格式

第一行输入一个正整数n； 第二行输入n个整数，表示A[i]，以空格隔开； 第三行输入一个正整数K； 其中1≤n≤30000，对于任意A[i]有-10000≤A[i]≤10000，2≤K≤10000

输出格式

输出一个数，表示子序列的数目

输入样例

6
4 5 0 -2 -3 1
5

输出样例

7

思路

求连续非空子序列的话可以想到用前缀和
如果枚举的话还是O(n²)
如果（a_i-a_j）%k则a_i%k-a_j%k=0
对于每一种余数的情况，只用C_n²就可以算出
前缀和算上第0个数便于计算(a_i-0)就是从a₁加到a_i

代码

#include<cstdio>
int n,k,t,a[30005],sum=0,cnt[10005];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&t);
		a[i]=a[i-1]+t;
	}
	scanf("%d",&k);
	for(int i=0;i<=n;i++)
		cnt[(a[i]%k+k)%k]++;//防止负数越界，统计每种余数的数量
	for(int i=0;i<k;i++)
		sum+=(cnt[i]-1)*cnt[i]/2;
	printf("%d",sum);
}

时间复杂度为O(n+k)

数字1的数量

给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有正数，计算出其中出现所有1的个数。
例如：n = 12，包含了5个1。1,10,12共包含3个1，11包含2个1，总共5个1。

输入格式

输入N(1 <= N <= 10^9)

输出格式

输出包含1的个数

输入样例

12

输出样例

5

思路

O(n)肯定不行，可以考虑每一位的1出现的次数
如果当位数字大于等于2

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