2024.8.17

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DATE #:20240817

ITEM #:DOC

WEEK #:SATURDAY

DAIL #:捌月拾肆

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< BGM = "快哉风 -- 黄金玉米王" >
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取次花丛懒回顾，半缘修道半缘君 -- 元稹《离思五首·其四》

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[P4208 [JSOI2008] 最小生成树计数]([P4208 JSOI2008] 最小生成树计数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

[JSOI2008] 最小生成树计数

题目描述

现在给出了一个简单无向加权图。你不满足于求出这个图的最小生成树，而希望知道这个图中有多少个不同的最小生成树。（如果两棵最小生成树中至少有一条边不同，则这两个最小生成树就是不同的）。由于不同的最小生成树可能很多，所以你只需要输出方案数对 \(31011\) 的模就可以了。

输入格式

第一行包含两个数，\(n\) 和 \(m\)，其中 \(1 \le n \le 100\)，\(1 \le m \le 1000\)，表示该无向图的节点数和边数。每个节点用 \(1 \sim n\) 的整数编号。

接下来的 \(m\) 行，每行包含两个整数：\(a,b,c\)，表示节点 \(a,b\) 之间的边的权值为 \(c\)，其中 \(1 \le c \le 10^9\)。

数据保证不会出现自回边和重边。注意：具有相同权值的边不会超过 \(10\) 条。

输出格式

输出不同的最小生成树有多少个。你只需要输出数量对 \(31011\) 的模就可以了。

样例 #1

样例输入 #1

4 6
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 3 2
2 4 1
3 4 1

样例输出 #1

8

提示

数据范围及约定

对于全部数据，\(1 \le n \le 100\)，\(1 \le m \le 1000\)，\(1\leq c_i\leq 10^9\)。

先引入一个引理：

对于一个图的最小生成树，每个边权的边出现的次数是一样的

证明：模拟kruskal的过程，我们在给边排序时，交换同权的边并没有什么影响

那么我们先求解出最小生成树，并依次计算权值

考虑，当我们要加入权值为\(i\)的若干条边时，

前面加入的边已经使其变成了几个联通块，只要考虑用权值为\(i\)的边跑一次生成树数量即可，

之后对每个边权都依次操作

CODE

    
    //2024.8.17
    //by white_ice
    //[JSOI2008] 最小生成树计数 |P4208
    #include
    //#include"need.cpp"
    using namespace std;
    #define itn int
    constexpr itn oo = 1003;
    constexpr int mod = 31011;
    struct nod{int x,y,z;}st[oo],sp[oo];
    int cmp(nod a,nod b){return a.zsp[x].y){
            if (k==d[x]) cnt++;
            return void();
        }
        int p[101];
        for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=fa[i];
        xx=find(st[now].x);yy=find(st[now].y);
        if (xx!=yy){
            fa[xx]=yy;
            dfs(now+1,k+1,x);
        }
        for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=p[i];
        dfs(now+1,k,x);
    }
    main(void){
        //fre();
        cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
        cin >> n >> m;
        for (int i=1;i<=m;i++)cin >> st[i].x >> st[i].y >> st[i].z;
        sort(st+1,st+1+m,cmp);
        for (int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
        st[0].z=-INT_MAX;t=0;
        for (int i=1;i<=m;i++){
            if (st[i].z==st[i-1].z){sp[t].y++;c[i]=t;}
            else {t++;sp[t].x=i;sp[t].y=i;c[i]=t;}
        }
        cnt=0;
        for (int i=1;i<=m;i++){
            xx=find(st[i].x);yy=find(st[i].y);
            if (xx!=yy){
                fa[xx]=yy;
                d[c[i]]++;
                cnt++;
            }
            if (cnt==n-1) break;
        }
        if (cnt!=n-1) {printf("0");exit(0);}
        for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
        out=1;
        for (int i=1;i<=t;i++)
            if (d[i]>0){
                cnt=0;
                dfs(sp[i].x,0,i);
                out=(out*cnt)%mod;
                for (int j=sp[i].x;j<=sp[i].y;j++){
                    xx=find(st[j].x);yy=find(st[j].y);
                    if (xx!=yy)fa[xx]=yy;
                } 
        }
        cout << out << flush;
        exit (0);
    }