bzoj4037 [HAOI2015]数字串拆分

Description

你有一个长度为n的数字串。定义f(S)为将S拆分成若干个1~m的数的和的方案数，比如m=2时，f(4)=5，分别为4=1+1+1+1你可以将这个数字串分割成若干个数字（允许前导0），将他们加起来，求f，并求和。比如g(123)=f(1+2+3)+f(1+23)+f(12+3)+f(123)。已知字符串和m后求答案对998244353（7×17×223+1，一个质数）取模后的值。

Input

第一行输入一个字符串，第二行输入m

Output

仅输出一个数表示答案

Sample Input

123
3

Sample Output

394608467

HINT 

 对于100%的数据，字符串长度不超过500，m<=5

 

正解：$dp$+矩阵乘法。

矩阵可以用来$dp$转移。。

设$g[i]$表示$i$的拆分数，那么$g[i]=\sum_{j=0}^{m}g[i-j]$，这显然可以用矩阵表示，设转移矩阵为$A$。

然后我们设$f[i]$表示字符串到$i$的方案数。我们可以发现$A^{a1+a2+...+ak}=A^{a1}*A^{a2}*...*A^{ak}$。

那么我们把$f$也变成矩阵，则$f[i]=\sum_{j=0}^{i-1}f[j]*A^{s[j+1]...s[i]}$，因为矩阵可以加法，满足分配律，所以这里是对的。

预处理出$(A^{10^{r}})^{k}$，然后直接$dp$即可。复杂度$O(m^{3}*n^{2})$。

 

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define rhl (998244353)

using namespace std;

struct data{ int m[6][6]; }A[505][10],f[505],now;

char s[505];
int n,m;

il int gi(){
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
  while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
  if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
  while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return q*x;
}

il void add(data &a,data b){
  for (RG int i=1;i<=m;++i)
    for (RG int j=1;j<=m;++j){
      a.m[i][j]+=b.m[i][j];
      if (a.m[i][j]>=rhl) a.m[i][j]-=rhl;
    }
  return;
}

il data mul(data a,data b){
  data c; memset(c.m,0,sizeof(c.m));
  for (RG int i=1;i<=m;++i)
    for (RG int j=1;j<=m;++j)
      for (RG int k=1;k<=m;++k)
    c.m[i][k]=(1LL*a.m[i][j]*b.m[j][k]+c.m[i][k])%rhl;
  return c;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("split.in","r",stdin);
  freopen("split.out","w",stdout);
#endif
  scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1),m=gi();
  for (RG int i=1;i<=m;++i)
    for (RG int j=1;j<=m;++j) A[0][0].m[i][j]=i==j;
  for (RG int i=1;i<m;++i) A[0][1].m[i+1][i]=1;
  for (RG int i=1;i<=m;++i) A[0][1].m[i][m]=1;
  for (RG int i=2;i<10;++i) A[0][i]=mul(A[0][i-1],A[0][1]);
  for (RG int i=1;i<=n;++i){
    A[i][0]=A[0][0],A[i][1]=mul(A[i-1][9],A[i-1][1]);
    for (RG int j=2;j<10;++j) A[i][j]=mul(A[i][j-1],A[i][1]);
  }
  f[0]=A[0][0];
  for (RG int i=1;i<=n;++i){
    now=A[0][s[i]-'0'];
    for (RG int j=i-1;~j;--j){
      add(f[i],mul(f[j],now));
      if (j) now=mul(A[i-j][s[j]-'0'],now);
    }
  }
  cout<<f[n].m[m][m]; return 0;
}