bzoj2705 [SDOI2012]Longge的问题

Description

Longge的数学成绩非常好,并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了:给定一个整数N,你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数,为N。

Output

一个整数,为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】
对于60%的数据,0<N<=2^16。
对于100%的数据,0<N<=2^32。

 

正解:欧拉函数。

我想到杜教筛和莫比乌斯函数上去了。。想了好久都没想出来。。

我们考虑一下,对于$n$的一个因子$k$,满足$\gcd(n,i)=k$的数有多少个。那么既然$gcd(n,i)=k$,那么$gcd(\frac{n}{k},\frac{i}{k})=1$,于是我们找出小于等于$\frac{n}{k}$的数,且与它互质的数的个数,那这就是欧拉函数。直接用欧拉函数公式$\phi(n)=n*(1-\frac{1}{p_{1}})*(1-\frac{1}{p_{2}})*...*(1-\frac{1}{p_{K}})$求出来就行了。

 

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 2 #include <algorithm>
 3 #include <iostream>
 4 #include <complex>
 5 #include <cstring>
 6 #include <cstdlib>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <vector>
 9 #include <cmath>
10 #include <queue>
11 #include <stack>
12 #include <map>
13 #include <set>
14 #define il inline
15 #define RG register
16 #define ll long long
17 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
18 
19 using namespace std;
20 
21 ll n,m,ans;
22 
23 il ll phi(RG int n){
24     RG ll x=n;
25     for (RG ll i=2;i<=m;++i){
26     if (n%i) continue;
27     x=x/i*(i-1);
28     while (!(n%i)) n/=i;
29     }
30     if (n>1) x=x/n*(n-1); return x;
31 }
32 
33 il void work(){
34     cin>>n; m=sqrt(n);
35     for (RG ll i=1;i<=m;++i){
36     if (n%i) continue;
37     ans+=i*phi(n/i);
38     if (i<n/i) ans+=(n/i)*phi(i);
39     }
40     cout<<ans; return;
41 }
42 
43 int main(){
44     File("longge");
45     work();
46     return 0;
47 }

 

posted @ 2017-03-18 15:11  wfj_2048  阅读(138)  评论(0编辑  收藏  举报