bzoj2005 [Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行,为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。

正解:莫比乌斯函数。

容易得出,题目要我们求的是$Ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[2*(gcd(i,j)-1)+1]$。那么我们一堆乱搞就行了。

从而得到$Ans=2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)-n*m$。

$Ans=2\sum_{d=1}^{min(n,m)}d*\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]-n*m$。

$Ans=2\sum_{d=1}^{min(n,m)}d*\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}[gcd(i,j)==1]-n*m$。

$Ans=2\sum_{d=1}^{min(n,m)}d*\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}\sum_{q|gcd(i,j)}\mu(q)-n*m$。

$Ans=2\sum_{d=1}^{min(n,m)}d*\sum_{q=1}^{min(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor,\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor)}\mu(q)*\left \lfloor \frac{n}{dq}\right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{dq} \right \rfloor-n*m$。

然后我们运用数论分块,可以将时间复杂度优化至$O(n\sqrt{n})$或$O(n)$。于是,这道题就被解决了。

 

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 2 #include <algorithm>
 3 #include <iostream>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdlib>
 6 #include <cstdio>
 7 #include <vector>
 8 #include <cmath>
 9 #include <queue>
10 #include <stack>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 #define inf (1<<30)
14 #define N (100010)
15 #define il inline
16 #define RG register
17 #define ll long long
18 #define min(a,b) (a<b ? a : b)
19 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
20 
21 using namespace std;
22 
23 int vis[N],mu[N],prime[N],n,m,nn,mm,cnt,pos1,pos2;
24 ll ans,anss;
25 
26 il int gi(){
27     RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
28     if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
29 }
30 
31 il void sieve(){
32     vis[1]=mu[1]=1;
33     for (RG int i=2;i<=m;++i){
34     if (!vis[i]) vis[i]=1,mu[i]=-1,prime[++cnt]=i;
35     for (RG int j=1,k=i*prime[j];j<=cnt && k<=m;++j,k=i*prime[j]){
36         vis[k]=1; if (i%prime[j]) mu[k]=-mu[i]; else{ mu[k]=0; break; }
37     }
38     }
39     for (RG int i=1;i<=m;++i) mu[i]+=mu[i-1]; return;
40 }
41 
42 il void work(){
43     n=gi(),m=gi(); if (n>m) swap(n,m); sieve();
44     for (RG int d=1;d<=n;d=pos1+1){
45     pos1=min(n/(n/d),m/(m/d)),nn=n/pos1,mm=m/pos1,anss=0;
46     for (RG int i=1;i<=nn;i=pos2+1){
47         pos2=min(nn/(nn/i),mm/(mm/i));
48         anss+=(ll)(nn/pos2)*(ll)(mm/pos2)*(ll)(mu[pos2]-mu[i-1]);
49     }
50     ans+=(ll)(d+pos1)*(ll)(pos1-d+1)/2*anss;
51     }
52     printf("%lld\n",2*ans-(ll)n*(ll)m); return;
53 }
54 
55 int main(){
56     File("energy");
57     work();
58     return 0;
59 }

 

posted @ 2017-03-12 17:38  wfj_2048  阅读(...)  评论(...编辑  收藏