具体数学 - 平面划分问题 Lines in the Plane

问题定义：平面上 \(n\) 条直线所界定的区域的最大个数 \(L_n\) 是多少？

基于对前几个 \(n\) 情况的分析，我们可以总结以下规律：第 \(n\) \((n>0)\) 条直线使得区域的个数增加 \(k\) 个，当且仅当它对 \(k\) 个已有区域进行了分裂；而它对 \(k\) 个已有区域进行分裂，当且仅当它在 \(k+1\) 个不同的地方与前面那些直线相交。两条直线至多相交于一点，因而这条新的直线与那 \(n-1\) 条已有直线至多相交于 \(n-1\) 个不同的点，故必定有 \(k \leq n\)。这样我们就证明了上界

\[L_n \leq L_{n-1} + n, n > 0. \]

此外，在我们放置第 \(n\) 条直线时，我们使其不与其他任何一条直线平行。这样第 \(n\) 条直线会与其他 \(n-1\) 条直线相交，而且不经过任何已经存在的交点。于是我们证明了上界的等式是可以达到的，因此问题的递归关系为

\[\begin{align*} L_0 &= 1, \\ L_n &= L_{n-1} + n, n > 0. \end{align*} \]

封闭形式求解

这里我们直接展开递归关系：

\[\begin{align*} L_n &= L_{n-1} + n \\ &= L_{n-2} + (n-1) + n \\ &= \cdots \\ &= L_0 + 1 + \cdots + (n-1) + n \\ &= 1 + \frac{1}{2}n(n+1). \end{align*} \]

尽管我们直接推导出了递归关系的封闭形式，但是作者推荐使用数学归纳法进行严格的证明。