树的基础算法（二）二叉树

一 二叉树的定义与性质

1.1 定义

二叉树（Binary Tree）是由节点组成的树形结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。若节点没有子节点，则称为叶子节点；若只有一个子节点，则需明确左或右。

1.2 核心性质

1.2.1 节点关系：

• 节点数 = 边数 + 1。
• 深度（Depth）：根节点深度为0，子节点深度逐层递增。
• 高度（Height）：从节点到最远叶子节点的最长路径边数。

1.2.2 特殊类型：

• 满二叉树：所有层节点数达到最大值（第i层有2i个节点）。
• 完全二叉树：除最后一层外，其他层填满，最后一层左对齐。
• 二叉搜索树（BST）：左子树值 < 根节点值 < 右子树值。
• 平衡二叉树（AVL/红黑树）：左右子树高度差 ≤ 1（AVL），或近似平衡（红黑树）。

二 基础算法

2.1 基本操作

2.1.1 节点结构体定义​

typedef struct TreeNode {
    int data;
    struct TreeNode* left;
    struct TreeNode* right;
} TreeNode;

功能：存储节点值及左右子节点指针;

2.1.2 插入节点（以BST为例）​

TreeNode* insertBST(TreeNode* root, int val) {
    if (root == NULL) return createNode(val);
    if (val < root->data) root->left = insertBST(root->left, val);
    else root->right = insertBST(root->right, val);
    return root;
}

复杂度：平均O(log n)，最坏O(n)（树退化为链表）。

2.1.3 查找节点​

TreeNode* searchBST(TreeNode* root, int val) {
    if (root == NULL || root->data == val) return root;
    return (val < root->data) ? searchBST(root->left, val) : searchBST(root->right, val);
}

复杂度：同插入操作。

2.1.4 删除节点​

TreeNode* deleteBST(TreeNode* root, int key) {
    if (root == NULL) return root;
    if (key < root->data) root->left = deleteBST(root->left, key);
    else if (key > root->data) root->right = deleteBST(root->right, key);
    else {
        if (root->left == NULL) return root->right;
        else if (root->right == NULL) return root->left;
        else {
            TreeNode* minNode = findMin(root->right);
            root->data = minNode->data;
            root->right = deleteBST(root->right, minNode->data);
        }
    }
    return root;
}

逻辑：处理叶子节点、单子节点、双子节点三种情况。

2.2 遍历算法