Divide and Conquer

目录

• Merge Sort
• Counting Inversions
• Closest Pair
  • 场景
  • 算法
• Karatsuba Multiplication
• FFT and Inverse FFT
  • 场景
  • FFT
  • Inverse FFT

Merge Sort

持续将序列分成两半，直到不可再分，然后合并

T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + O(n)

Counting Inversions

在一个序列中S，使i<j，如果存在第i个元素\(S_i\)大于第j个元素\(S_j\)
那么我们记这个元素对为inversion
想要找出整个序列的inversions个数，我们采用类似merge sort的方法

在下面的例子中，要找到整个序列的inversions count
那么就是蓝色的count + 绿色的count + 蓝绿构成的inversions count(combine)

combine的方法就在merge上修改一下即可

Closest Pair

场景

在一个点集中，找到一对点，使得他们的直线距离在所有点对中最短

算法

采用分治的思想

1. 将整个点集，按照x坐标排序 \(O(nlogn)\)

2. Conquer: 将点集平均分为两侧做分治，得到两边的最短距离，取更小，记为\(\delta\)
   每侧返回时返回两个副本，一个按y排序，一个按x排序
   

3. combine：需要计算跨中线两侧的点对的最短距离
   先用merge sort将两侧merge起来，得到一份按x排序的点集，一份按y排序的点集
   将点集(x)中与中线距离\(> \delta\)的点去掉，得到一条宽为\(2\delta\)的条带
   一种算法是，按y从小到大遍历条带内所有点，每个点和接下来（y较大）的7个点计算距离，如果距离小于\(\delta\)，那么就更新\(\delta\)。证明略
   第二种算法是，按y从小到大遍历条带内所有中线左侧的点，每个点和条带内中线右侧的上两个点，下两个点计算距离。证明可看《求平面点集最近点对的一个改进算法》
   

Karatsuba Multiplication

在没有加速乘法器的情况下，完成两个n bits数的乘法，是\(O(n^2)\)的复杂度

Karatsuba Multiplication提供了一个\(O(n^1.585)\)的算法

FFT and Inverse FFT

场景

多项式有两种表达形式，一种是coefficient，一种是point-value
在需要完成一些多项式运算时，不同表达形式运算速度不同

我们既想要取得coefficient的快速evaluate，也想要point-value的multiplication
所以我们通过在两种形式间转换来实现这个想法

FFT

FFT可以实现快速从coefficient转换成point-value
将表达式分成两部分，一部分是奇数次，一部分是偶数次

nth root of unity指的是
复数\(x\)属于nth root of unity，当且仅当\(x\)满足\(x^n=1\)

没有经过分治加速的的傅里叶变换就是DFT，DFT中选择在\(w^0, w^1, ..., w^{n-1}\)取point-value

而在FFT中，我们分别给odd和even terms在\(v^0, v^1, ..., v^{n-1}\)取point-value，然后进行合并
以下为算法流程

\(T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + O(n)\)
算法为\(O(nlogn)\)的

Inverse FFT

Inverse DFT就是这样，对point-value的value矩阵左乘一个Fourier Matrix的逆矩阵

Inverse FFT和FFT用了相同的策略，也是分治，将value矩阵分为奇偶两部分
然后分别做FFT，最后combine
但nth root of unity上发生了变化

以下为算法流程