BZOJ 4184 shallot
解题思路
根据标签可知，这题要用线段树维护。
裸的想法
线段树上每个点都是一个线性基，这个线段树就维护时间轴。对于时间轴上的某一点，线段树维护的是这个点时可用的数字构成的线性基。我们可以在取出某个数字的时候，将它加到线段树上对应的时间段。但是会发现pushdown和pushup极慢，而且很不方便，于是标记永久化（我再这题才第一次使用标记永久化这个科技），在查询的时候统计标记。实测下来，20个点里有一半的数据量达到最大值。这个思路在大些的这一半测试点上，占用内存约148MB，耗时2s左右，20个点全部跑下来需要20s，于是显然MLE了，要不是BZOJ只看总时间，那还TLE了。下面这个是使用传统的线性基的MLE代码——
#include<map>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int MAXN=5e5+3;
const int wide=31;
int n;
int last[MAXN];//记录上一个被插入的相同的数字的时间戳
std::map<int,int> mp;//查询该数被上一次加入的时间戳
struct Linear{//codelf
int p[33]={0};
void insert(int x)
{
for(int i=wide;~i;i--)
{
if((x>>i)&1)
{
if(p[i]) x^=p[i];
else { p[i]=x; return; }
}
}
}
int quemx()
{
int ans=0;
for(int i=wide;~i;i--)
ans=std::max(ans,ans^p[i]);
return ans;
}
void add(const Linear & s)//合并一个线性基进来 //希望这种引用能加速传参，防止传参传一整个结构体……目前还不知道可不可行，留坑，啥时候问问
{
for(int i=wide;~i;i--)
{
if(s.p[i]) insert(s.p[i]);
}
}
};
Linear t[MAXN<<2];//线段树
void update(int x,int l,int r,int ql,int qr,int k)
{
if(ql<=l&&r<=qr)
{
t[x].insert(k);
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(ql<=mid) update(x<<1,l,mid,ql,qr,k);
if(qr>mid) update(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr,k);
}
void queans(int x,int l,int r,Linear sum)//遍历整棵树，输出答案
{
sum.add(t[x]);//收集标记
if(l==r)
{
printf("%d\n",sum.quemx());
return;
}
int mid=l+r>>1;
queans(x<<1,l,mid,sum);//先序遍历保证输出答案的顺序
queans(x<<1|1,mid+1,r,sum);
}
int main()
{
//freopen("test.in","r",stdin);
scanf("%d",&n);
for(int i=1,a;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a);
if(a<0)
{
update(1,1,n,mp[-a],i-1,-a);
mp[-a]=last[mp[-a]];
}
else
{
if(mp.find(a)!=mp.end()) last[i]=mp[a];//上一次出现的位置
else last[i]=0;
mp[a]=i;//记录加入的时间戳
}
}
std::map<int,int>::iterator it;
for(it=mp.begin();it!=mp.end();it++)
{
if(it->second)
{
update(1,1,n,it->second,n,it->first);
}
}
Linear temp;
queans(1,1,n,temp);
return 0;
}
优化一下线性基的储存
（思路来源）实测那个博主的代码跑大的测试点时内存约72MB，时间都在2.3s左右。内存少了一半。
可以想象，由于标记永久化和区间长度不大，线段树上那些线性基，会有很多空行，有些线性基甚至是全空的，于是弃用固定长度为33的int数组表示每一个线性基，换用变长数组vector。这样的线性基，数组下标为\(i\)的那一个向量，最高位的1就不一定在从右向左第\(i\)位上了。换句话说，这种新的线性基，可以看成把原来那种线性基里的0向量全部去掉，剩下的全是非0向量。
从思路来源那个链接里学到了新的线性基插入方法，可以在这种变长数组的情况下插入元素——依然从高到低（从大到小）扫描线性基中已有的向量\(p[i]\)，和想要插入的元素\(x\)对比，如果\((x \text^ p[i])<x\)，即异或上\(p[i]\)能够减小\(x\)，那么就把\(x\)异或上\(p[i]\)。扫描完现有线性基，x和每一个向量都进行比较之后，如果\(x\)为0，说明插入失败或者说不用插入，否则就把\(x\)给push_back进线性基里，然后类似选择排序，把\(x\)移动到合适的位置，以保持线性基里的数字是递增的。
结合代码看一下这个过程——
std::vector<int> p;
void insert(int x)
{
for(int i=p.size()-1;~i;i--)
if((p[i]^x)<x) x^=p[i];
if(x)
{
p.push_back(x);
for(int i=p.size()-1;i;i--)
{
if(p[i]<p[i-1]) std::swap(p[i],p[i-1]);
}
}
}
我来尝试说明一下，两种处理\(x\)的方法是等效的。
回忆一下传统的线性基里，向量\(p[i]\)如果是非零向量，那么其二进制第\(i\)位（同时也是其最高位）一定是1，换句话说，线性基里的所有行向量的最高位1一定排在线性基组成的01矩阵的主对角线上。
我们在传统线性基中插入数字\(x\)时，如果\(x\)第\(i\)位是1，那么就让\(x\)异或上\(p[i]\)，使\(x\)在这一位的1被去掉。由于从高到低处理，所以\(x\)在这个过程被处理的总是最高位，最高位总是不断向后退，\(x\)总是变小。这个过程持续到\(x\)变为0，或者发现线性基里没有这一位为1的向量，无法把\(x\)最高位清零，于是就把\(x\)塞到这个位置，\(x\)的最高位1现在依然在主对角线上。
在压缩过的线性基里插入数字\(x\)，依然从高到低扫。如果向量\(p[i]\)能够减小\(x\)，那就两种情况——
-
p[i]的最高位和x的最高位位置一致
- 这种大概就是传统线性基里的操作了吧，将x的当前最高位清零，x肯定变小了。
-
p[i]的最高位低于x的最高位
-
出现这种情况，说明比p[i]大的那些向量都没能把x的当前最高位清零，那么p[i]和比p[i]小的向量更不可能清零x的当前最高位了，x能加入线性基是石锤了。这时候x=p[i]，让x变成了xp[i]，仅只是通过清零了x的一部分低位，让x减小，对x的最高位没有影响。这时直接将\(x\)push_back进去得到的新线性基，和将\(x\)处理到最后一个向量p[i]再push_back得到的线性基是等价的。所以可以及时break出来，剩下那些更小的向量都不用看了。思路来源 没有及时break，所以这里还可以继续优化一下——
std::vector<int> p; void insert(int x) { for(int i=p.size()-1;~i;i--) { if((p[i]^x)<x) x^=p[i]; else if(p[i]<x) break;//加了这行 } if(x) { p.push_back(x); for(int i=p.size()-1;i;i--) if(p[i]<p[i-1]) std::swap(p[i],p[i-1]); } }最慢的点2.25s，其他大的测试点基本2.13s，差不多优化了0.2s，感觉效果还是挺好的。
-
-
p[i]的最高位不可能高于x的最高位，那样不能减小x。
另外两种优化思路
-
大的测试点69MB、1.7s
首先是使用了快读。
在处理输入数据时使用sort、unique、lower_bound这套进行离散化，而不用速度慢的map。
把线段树上的节点从线性基换成vector，更新区间时直接将数字push_back进对应线段树节点的vector里，而不是把数字塞进几个线性基。
查询时收集标记是这么做的：把当前节点vector里的数字全部取出来塞到用于统计永久化标记的线性基里。
线性基多存一个变量，统计线性基内非零向量的数量，如果当前线性基向量数量已经达到32，就及时return。乍一看这个优化是最关键的，能十分有效地避免前面几个优化的缺点，但实测去掉这个优化还是1.7s…………
-
emmm……还没看懂，内存45MB左右，大的测试点耗时1.3s。。。orz…
现在这个todolist又多了一个√
源代码
#include<map>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int MAXN=5e5+3;
const int wide=31;
int n;
int last[MAXN];//记录上一个被插入的相同的数字的时间戳
std::map<int,int> mp;//查询该数被上一次加入的时间戳
struct Linear{//codelf
std::vector<int> p;
void insert(int x)
{
for(int i=p.size()-1;~i;i--)
if((p[i]^x)<x) x^=p[i];
if(x)
{
p.push_back(x);
for(int i=p.size()-1;i;i--)
{
if(p[i]<p[i-1]) std::swap(p[i],p[i-1]);
}
}
}
int quemx()
{
int ans=0;
for(int i=p.size()-1;~i;i--)
ans=std::max(ans,ans^p[i]);
return ans;
}
void add(const Linear & s)//合并一个线性基进来
{
for(int i=s.p.size()-1;~i;i--)
{
if(s.p[i]) insert(s.p[i]);
}
}
};
Linear t[MAXN<<2];//线段树 //不存l、r，初值全部为0，就不build了
void update(int x,int l,int r,int ql,int qr,int k)
{//不用复制父亲的，也不用下传给儿子，只因标记永久化，询问答案时用一个参数统计就好
if(ql<=l&&r<=qr)
{
t[x].insert(k);
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(ql<=mid) update(x<<1,l,mid,ql,qr,k);
if(qr>mid) update(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr,k);
}
void queans(int x,int l,int r,Linear sum)//遍历整棵树，输出答案
{
sum.add(t[x]);
if(l==r)
{
printf("%d\n",sum.quemx());
return;
}
int mid=l+r>>1;
queans(x<<1,l,mid,sum);//先序遍历保证输出答案的顺序
queans(x<<1|1,mid+1,r,sum);
}
int main()
{
//freopen("test.in","r",stdin);
scanf("%d",&n);
for(int i=1,a;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a);
if(a<0)
{
update(1,1,n,mp[-a],i-1,-a);
mp[-a]=last[mp[-a]];
}
else
{
if(mp.find(a)!=mp.end()) last[i]=mp[a];//上一次出现的位置
else last[i]=0;
mp[a]=i;//记录加入的时间戳
}
}
std::map<int,int>::iterator it;
for(it=mp.begin();it!=mp.end();it++)
{
if(it->second)
{
update(1,1,n,it->second,n,it->first);
}
}
Linear temp;
queans(1,1,n,temp);
return 0;
}
