16.友谊悖论

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友谊悖论

如果网络中任何两个节点的度不同，那么平均而言，节点的度会低于其相邻节点。换句话说，平均而言，人们的朋友比他们自己更受欢迎。

给定一个具有N个人的网络，令di表示节点i的邻居的数量，即度。平均度可以表示为如下形式：

d_hat = Σdi / N  (平均每个人拥有的邻居数量)

平均度等于这个节点的期望邻居数。而在计算“邻居的邻居”的平均数量时，度为di的节点会被“数上”di次，即，每个邻居一次。因此，
节点的邻居的邻居的总数N2可以表示如下：

N2 = Σ(di * di)  (所有节点的邻居的邻居的总数)
N3 = Σ(di * di) / N  (平均每个人邻居的邻居的总数量)
N4 = Σ(di * di) / (N * d_hat)  (平均每个人邻居的邻居的平均数量)

只要证明 N4 >= d_hat 即 Σ(di * di) / (N * d_hat) >= d_hat

上式可以重写为：

Σ(di * di) / N - d_hat² >= 0

左边的项等于度分布的方差。如果任意两个节点具有不同的度数，那么度分布就具有正的方差，
因此，节点的邻居的平均度，超过节点的平均度。

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