[转]编程之美 2013 全国挑战赛 资格赛 题目三 树上的三角形

题目三 树上的三角形

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描述

有一棵树，树上有只毛毛虫。它在这棵树上生活了很久，对它的构造了如指掌。所以它在树上从来都是走最短路，不会绕路。它还还特别喜欢三角形，所以当它在树上爬来爬去的时候总会在想，如果把刚才爬过的那几根树枝/树干锯下来，能不能从中选三根出来拼成一个三角形呢？

输入

输入数据的第一行包含一个整数 T，表示数据组数。

接下来有 T 组数据，每组数据中：

第一行包含一个整数 N，表示树上节点的个数（从 1 到 N 标号）。

接下来的 N-1 行包含三个整数 a, b, len，表示有一根长度为 len 的树枝/树干在节点 a 和节点 b 之间。

接下来一行包含一个整数 M，表示询问数。

接下来M行每行两个整数 S, T，表示毛毛虫从 S 爬行到了 T，询问这段路程中的树枝/树干是否能拼成三角形。

输出

对于每组数据，先输出一行"Case #X:",其中X为数据组数编号，从 1 开始。

接下来对于每个询问输出一行，包含"Yes"或“No”，表示是否可以拼成三角形。

数据范围

1 ≤ T ≤ 5

小数据：1 ≤ N ≤ 100, 1 ≤ M ≤ 100, 1 ≤ len ≤ 10000

大数据：1 ≤ N ≤ 100000, 1 ≤ M ≤ 100000, 1 ≤ len ≤ 1000000000

样例输入

2
5
1 2 5
1 3 20
2 4 30
4 5 15
2
3 4
3 5
5
1 4 32
2 3 100
3 5 45
4 5 60
2
1 4
1 3

样例输出

Case #1:
No
Yes
Case #2:
No
Yes

解题思路

这道题如果直接按照题意去写，那么可以利用广度优先搜索得到最短路径（因为这是一颗树，而不是图，所以不必使用最短路算法），然后判断路径上的边是否能组成一个三角形（先对路径排序，然后用两边之和大于第三边进行判断）。不过搜索的时间复杂度是 O(N)，判断三角形的时间复杂度为 O(llgl)（其中 l 是最短路径的长度），小数据没问题，但大数据肯定会挂。

判断三角形是否存在，我并没有更好的办法，那么只能在求最短路径上下手了，以下面的树作为例子（题目没说是几叉树，不过没有关系）：

图 1 一颗树的示例

求一棵树上两个节点的最短路径，其实就是求两个节点的最近公共祖先（Least Common Ancestors，LCA）。最近公共祖先指的是在一颗有根树中，找到两个节点 u 和 v 最近的公共祖先。这个概念很容易理解，例如上面节点 5 和 10 的 LCA 就是 1，3 和 11 的 LCA 是 3，7 和 9 的 LCA 是 3。

显然，两个节点与它们的最近公共祖先之间的路径（可以不断向上查找父节点得到）加起来，就是两个节点间的最短路径。上面节点 5 和 10 的最短路径就为 5、2、1、3、8、10；节点 3 和 11 的最短路径就为 3、8、9、11。

求 LCA 有两种算法，一种是离线的 Tarjan 算法，计算出所有 M 个询问所需的时间复杂度是 O(N+M)；另一种是基于区间最值查询（Range Minimum/Maximum Query，RMQ）的在线算法，预处理时间是 O(NlgN)，每次询问的时间复杂度为 O(1)，总得时间复杂度就是 O(NlgN+M)。两个算法使用那个都可以，不过感觉还是用 Tarjan 更好点，占用内存更少，速度也更快。关于这两个算法的详细解释，可以参见算法之LCA与RMQ问题，这里就不详细说明了。

在线算法的代码

离线算法的代码

这两个算法应该是没问题的，但大数据的时候都 TLE 了，看来 list 真不能随便用，动态开辟内存还是太慢了。离线算法的内存使用大概只有在线算法的 70%。

后来我翻代码的时候（所有人的代码都可以看到，这点挺给力），看到有人没用上面的 LCA 算法，而是在用 DFS 建好树后，使要判断的两个节点 u 和 v 分别沿着父节点链向上遍历，同时保持 u 和 v 的深度是相同的，这样同样能得到最短路径和 LCA，只不过时间复杂度要高一些。但在这道题中也没有关系，因为在找三角形时还是需要把路径遍历一编才可以，LCA 的计算反而会带来额外的复杂性，看来的确是自己想复杂了。

这段遍历算法大概类似于下面这样：

 1 while (deep(u) > deep(v)){
 2     // 记录路径 u 到 parent(u) 的路径
 3     u = parent(u);
 4 }
 5 while (deep(v) > deep(u)){
 6     // 记录路径 v 到 parent(v) 的路径
 7     v = parent(v);
 8 }
 9 while (u != v){
10     // 记录路径 u 到 parent(u) 的路径
11     u = parent(u);
12     // 记录路径 v 到 parent(v) 的路径
13     v = parent(v);
14 }

完整的代码见这里，ID 是 mochavic（排名第一），果然是大神。

还是把 mochavic 的代码也贴这里吧：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <vector>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int deep[100010], f[100010][2];
 6 vector<int> e[100010];
 7 int c[60], cn;
 8 void dfs(int fa, int x, int d){
 9     int i, y;
10     deep[x] = d;
11     for (i = 0; i < (int)e[x].size(); i += 2){
12         y = e[x][i];
13         if (y == fa) continue;
14         f[y][0] = x;
15         f[y][1] = e[x][i + 1];
16         dfs(x, y, d + 1);
17     }
18 }
19 void pd(int x, int y){
20     while (deep[x] > deep[y]){
21         c[cn++] = f[x][1];
22         x = f[x][0];
23         if (cn == 50) return;
24     }
25     while (deep[y] > deep[x]){
26         c[cn++] = f[y][1];
27         y = f[y][0];
28         if (cn == 50) return;
29     }
30     while (x != y){
31         c[cn++] = f[x][1];
32         x = f[x][0];
33         c[cn++] = f[y][1];
34         y = f[y][0];
35         if (cn >= 50) return;
36     }
37 }
38 int main(){
39     int T, ri = 1, n, m, x, y, z, i;
40     scanf("%d", &T);
41     while (T--){
42         scanf("%d", &n);
43         for (i = 1; i <= n; i++) e[i].clear();
44         for (i = 1; i < n; i++){
45             scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
46             e[x].push_back(y);
47             e[x].push_back(z);
48             e[y].push_back(x);
49             e[y].push_back(z);
50         }
51         dfs(0, 1, 0);
52         printf("Case #%d:\n", ri++);
53         scanf("%d", &m);
54         while (m--){
55             scanf("%d%d", &x, &y);
56             cn = 0;
57             pd(x, y);
58             sort(c, c + cn);
59             for (i = 0; i + 2 < cn; i++){
60                 if (c[i] + c[i + 1] > c[i + 2]) break;
61             }
62             if (i + 2 < cn) printf("Yes\n");
63             else printf("No\n");
64         }
65     }
66     return 0;
67 }

 

作者：CYJB 
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