变限积分性质大总结

一、定积分存在性

可积——存在定积分

1、什么样的函数一定可积？

• 闭区间上的连续函数一定可积
• 闭区间上的单调函数一定可积
• 闭区间上有界且只有有限间断点的函数

2、什么样的函数一定不可积？

• 闭区间上的无界函数

二、原函数存在性

存在原函数——存在不定积分

1、什么样的函数一定存在原函数？

• 闭区间上的连续函数

2、什么样的函数一定不存在原函数？

• 有第一类间断点（导函数无第一类间断点）
• 有无穷间断点（在该点必须先有定义）

三、变限积分相关结论

四、真题

背结论来做题

1、数二2006

显然变限积分必定连续，排除C、D，为偶，选B

2、数二2009

变限积分一定连续且F(0)=0，排除B、C；由f(x)图像观察0、2均为跳跃间断点，故F(x)在0、2不可导，排除A，选D

3、数二2013

f(x)中x=π为跳跃间断点，故F(x)在x=π不可导，F(x)必然连续，选C

4、数二2016

由连续定义，f(x)一定连续，F(x)必定可导，反推法排除B、C；F(x)又必定连续，求不定积分，找出C₁和C₂的关系，选D