高数基础知识整理5.中值定理

五、中值定理

1、罗尔(Rolle)定理

若y=f(x)满足以下条件

① 在[a,b]上连续
② 在(a,b)内可导
③ f(b)=f(a)

则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

\[f′(ξ)=0 \]

2、拉格朗日(Lagrange)中值定理

若y=f(x)满足以下条件
① 在[a,b]上连续
② 在(a,b)内可导
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f′(ξ) \]

3、柯西(Cauchy)定理

若f(x)，g(x)满足以下条件：
① 在[a,b]上连续
② 在(a,b)内可导
③ g’(x)≠0
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=f′(ξ) \]

4、泰勒(Taylor)定理

4.1 泰勒定理

4.2 麦克劳林公式

4.3 一些初等函数的麦克劳林公式

5、四个中值定理之间的关系