期望学习笔记

1.定义

在一定区间内变量取值有有限个，或数值可以一一列举出来的变量称为离散型随机变量，一个离散型随机变量的数学期望是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和

信息学奥赛中的期望问题，大多数都是求离散型随机变量的数学期望，如果x是一个离散型随机变量，输入值为 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 和相应概率为 \(p_1,p_2,\dots,p_n\)(和为1)，期望值为 \(E(x)=\sum_{i=1}^n p_i\times x_i\)

2.性质

2.1 “线性”性质

对于任意随机变量x和y以及常量a和b，有 \(E(ax+by)=aE(x)+bE(y)\)

当两个随机变量x,y相互独立且各自有一个已定义的期望时，有 \(E(xy)=E(x)E(y)\)

2.2 期望DP常见的设转移方程数组的方法

1. 设\(f_i\)表示的是由i状态变为最终状态的期望（由末状态逆推）

2. 按照题意直接设

3. 把选择的东西加入数组，如\(f[i][j]\)表示第i个物品选j个的期望或i个A物品和j个B物品的期望

4. 结合1和3，\(f[i][j]\)已经由i个A，j个B离达最终状态还差多少期望

2.3 求转移方程

先考虑逆向，再考虑正向

概率DP通常为\(f[i]=f[i-1]\times p[i]\),期望DP通常倒序求解

当求解达到某一目标的花费时，由于最终花费无从知晓，则需倒序求解

设\(f[i]\)为i状态下实现目标的期望值，即到了\(f[i]\)这个状态的差距是多少

初始时，令\(f[n]=0\),即在目标状态的期望值为0，然后进行状态转移，新状态为上一状态与转移概率的乘积再加转移花费

即 \(*f[i-1]=f[i]p[i]+w\)

最后初始位置\(f[0]\)即为所求期望值