图论相关算法理解和总结
晚上学习了一些图论相关算法:
单源最短路径算法:
Bellman-Ford 算法:
Bellman-Ford 算法是一种用于计算带权有向图中单源最短路径（SSSP：Single-Source Shortest Path）的算法。该算法由 Richard Bellman 和 Lester Ford 分别发表于 1958 年和 1956 年，而实际上 Edward F. Moore 也在 1957 年发布了相同的算法，因此，此算法也常被称为 Bellman-Ford-Moore 算法。
Bellman-Ford 算法和 Dijkstra 算法同为解决单源最短路径的算法。对于带权有向图 G = (V, E)，Dijkstra 算法要求图 G 中边的权值均为非负，而 Bellman-Ford 算法能适应一般的情况（即存在负权边的情况）。一个实现的很好的 Dijkstra 算法比 Bellman-Ford 算法的运行时间要低。
Bellman-Ford 算法采用动态规划（Dynamic Programming）进行设计，实现的时间复杂度为 O(V*E)，其中 V 为顶点数量，E 为边的数量。Dijkstra 算法采用贪心算法（Greedy Algorithm）范式进行设计，普通实现的时间复杂度为 O(V2)，若基于 Fibonacci heap 的最小优先队列实现版本则时间复杂度为 O(E + VlogV)。
Bellman-Ford 算法描述：
创建源顶点 v 到图中所有顶点的距离的集合 distSet，为图中的所有顶点指定一个距离值，初始均为 Infinite，源顶点距离为 0；
计算最短路径，执行 V - 1 次遍历；
对于图中的每条边：如果起点 u 的距离 d 加上边的权值 w 小于终点 v 的距离 d，则更新终点 v 的距离值 d；
检测图中是否有负权边形成了环，遍历图中的所有边，计算 u 至 v 的距离，如果对于 v 存在更小的距离，则说明存在环；
代码:
1 //从顶点from指向顶点to的权值为cost的边 2 struct edge{ 3 int from,to,cost; 4 }; 5 6 edge es[MAX_V];//边 7 8 int d[MAX_V]; //最短距离 9 int V,E; //V是顶点数,E是边数 10 11 //求解从顶点s出发到所有点的最短距离 12 void shortest_path(int s) 13 { 14 for(int i=0; i<V; i++) 15 d[i] = INF; //0x3f3f3f3f 16 d[s]=0; 17 while(true){ 18 bool update=false; 19 for(int i=0; i<E; i++){ 20 edge e=es[i]; 21 if(d[e.from]!=INF && d[e.to] >d[e.from]+e.cost){ 22 uopdate=true; 23 } 24 } 25 if(!update) 26 break; 27 } 28 }
Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
2.算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图
STL代码:
1 struct edge{int to, cost;};//图的边 2 typedef pair<int,int> P;//保存的结果，first为最短距离，second为相应顶点 3 4 int V; 5 vector<edge> G[MAX_V]; 6 int d[MAX_V]; 7 8 void dijkstra(int s){ 9 //通过制定greater<P>参数,堆按照first从小到大的顺序取出值 10 priority_queue<P,vector<P>,greater<P>> que; 11 fill(d,d+V,INF); 12 d[s]=0; 13 que.push(P(0,s)); 14 15 while(!que.empty()){ 16 P p=que.top(); que.pop(); 17 int v=p.second; 18 for(int i=0;i<G[v].size;i++){ 19 edge e=G[v][i]; 20 if(d[e.to]>d[v]+e.cost){ 21 d[e.to]=d[v]+e.cost; 22 que.push(P(d[e.to],e.to)); 23 } 24 } 25 } 26 }
代码实现:
1 #define INF 0x3f3f3f3f 2 #define MAX 101 3 4 int dis[MAX],vis[MAX]; 5 int mp[MAX][MAX]; 6 7 int dijkstra(int s,int e) 8 { 9 memset(vis,0,sizeof(vis)); 10 for(int i=1; i<=e; i++) 11 dis[i]=mp[s][i]; 12 dis[s]=0; 13 vis[s]=1; 14 while(true){ 15 int min=INF; 16 int p; 17 for(int i=1; i<=e; i++){ 18 if(!vis[i] && dis[i]<min){ 19 min=dis[i]; 20 p=i; 21 } 22 } 23 if(min==INF) 24 break; 25 vis[p]=1; 26 for(int i=1; i<=e; i++){ 27 if(!vis[i] && dis[i]>min+mp[p][i]) 28 dis[i]=min+mp[p][i]; 29 } 30 } 31 }
SPFA:
是一种求单源最短路的算法
几乎所有的最短路算法其步骤都可以分为两步
1.初始化
2.松弛操作
判断有无负环：
如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）
1 int spfa(int s) 2 { 3 queue<int> q; 4 while(!q.empty()) 5 q.pop(); 6 q.push(s); 7 dis[s]=1.0; 8 vis[s]=1; 9 num[s]++; 10 while(!q.empty()){ 11 s=q.front(); 12 q.pop(); 13 vis[s]=0; 14 for(int i=0; i<list[s].size(); i++){ 15 int p=list[s][i]; 16 if(dis[p]<dis[s]*mp[s][p]){ 17 dis[p]=dis[s]*mp[s][p]; 18 if(!vis[p]){ 19 vis[p]=1; 20 q.push(p); 21 num[p]++; 22 if(num[p]==n) 23 return 0; 24 } 25 } 26 } 27 } 28 return 1; 29 }
1 int spfa_bfs(int s) 2 { 3 queue <int> q; 4 memset(d,0x3f,sizeof(d)); 5 d[s]=0; 6 memset(c,0,sizeof(c)); 7 memset(vis,0,sizeof(vis)); 8 9 q.push(s); vis[s]=1; c[s]=1; 10 //顶点入队vis要做标记，另外要统计顶点的入队次数 11 int OK=1; 12 while(!q.empty()) 13 { 14 int x; 15 x=q.front(); q.pop(); vis[x]=0; 16 //队头元素出队，并且消除标记 17 for(int k=f[x]; k!=0; k=nnext[k]) //遍历顶点x的邻接表 18 { 19 int y=v[k]; 20 if( d[x]+w[k] < d[y]) 21 { 22 d[y]=d[x]+w[k]; //松弛 23 if(!vis[y]) //顶点y不在队内 24 { 25 vis[y]=1; //标记 26 c[y]++; //统计次数 27 q.push(y); //入队 28 if(c[y]>NN) //超过入队次数上限，说明有负环 29 return OK=0; 30 } 31 } 32 } 33 } 34 35 return OK; 36 37 }
求多源、无负权边的最短路:
Floyd算法
1.定义概览
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。
2.算法描述
1)算法思想原理：
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
2).算法描述：
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法
代码:
1 int d[MAX_V][MAX_V]; //d[u][v] 表示边e=(u,v)的权值(不存在时设为INF,不过d[i][i]=0)
2 int v;
3
4 void warshall_floyd(){
5 for(int k=0; k<V; k++)
6 for(int i=0; i<V; i++)
7 for(int j=0; j<V; j++)
8 d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
9 }
最小生成树:
Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点
给定一个无向图,如果它的某个子图中任意两个顶点都互相连通并且是一棵树,那么这课树就叫做生成树(Spanning Tree).如果边上有权值,那么是的边权和最小的生成树叫做最小生成树(MST,Minimum Spanning Tree)
2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
代码:
1 void prim() 2 { 3 memset(vis,0,sizeof(vis)); 4 memset(dis,INF,sizeof(dis)); 5 dis[1]=0; 6 ans=0; 7 dis[0]=INF; 8 while(true){ 9 int m=0; 10 for(int i=1; i<=n; i++){ 11 if(!vis[i] && dis[i]<dis[m]) 12 m=i; 13 } 14 if(m==0) 15 break; 16 vis[m]=1; 17 ans+=dis[m]; 18 for(int i=1; i<=n; i++) 19 dis[i]=min(dis[i],mp[m][i]); 20 } 21 }
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
1 struct edge{int u,v,cost;}; 2 3 bool cmp(edge &e1,const edge &e2){ 4 return e1.cost < e2.cost; 5 } 6 7 edge es[MAX_E]; 8 int V,E; //顶点数和边数 9 10 int kruskal(){ 11 sort(es,es+E,cmp); //按照edge.cost的顺序从小到大排列 12 init_union_find(V); //并查集的初始化 13 int res=0; 14 for(int i=0; i<E; i++){ 15 edge e=es[i]; 16 if(!same(e.u,e.v)){ 17 unite(e.u,e.v); 18 res+=e.cost; 19 } 20 } 21 return res; 22 }
图论所刷题目的链接: http://www.cnblogs.com/qscqesze/p/4547000.html
参考书籍:<<挑战程序设计竞赛>>
参考博客:http://blog.csdn.net/yutianzuijin/article/details/11618651
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html
http://www.cnblogs.com/scau20110726/archive/2012/11/18/2776124.html
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6181485
