CF1295D Same GCDs

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\[description \]

给定\(a,m\)，求出有多少个\(x\)满足\(0\leq x<m\)且

\[gcd(a,m)=gcd(a+x,m) \]

\(gcd(x,y)\)表示\(x\)和\(y\)的最大公因数

\[solution \]

数论题

考虑设\(d=gcd(a,m)\)

肯定满足\(d|a,d|m,d|(a+x)\)

\(\therefore d|x\)

结论1：

\[gcd(\frac{a+x}{d},\frac{m}{d})=1 \]

证明：

假设\(gcd(\frac{a+x}{d},\frac{m}{d})\neq 1\)

即\(gcd(\frac{a+x}{d},\frac{m}{d})> 1\)

此时

\[gcd(a+x,m)=gcd(\frac{a+x}{d}\times d,\frac{m}{d}\times d)>d \]

即\(gcd(a+x,m)\neq gcd(a,m)\)

互相矛盾

综上所述：\(gcd(\frac{a+x}{d},\frac{m}{d})=1\)成立

结论2：

答案是

\[\varphi(\frac{m}{d}) \]

显然对与任意与m互质的数\(p\)和任意正整数\(k\)
满足：

\[gcd(p+\frac {km}{d},\frac{m}{d})=gcd((p+k\frac{m}{d})\ mod\ \frac{m}{d},\frac{m}{d})=gcd(p,\frac{m}{d})=1 \]

显然\(p+\frac {km}{d}\)与\(\frac{m}{d}\)互质

对于当\(a+x\leq m\)，答案是\(\frac{a}{d}\leq x\leq \frac{m}{d}\)的与\(\frac{m}{d}\)互质的个数

对于与\(m<a+x<a+m\)，答案是\(x<\frac{a}{d}\)的与\(\frac{m}{d}\)互质的个数

两个答案区间合并即是\(\varphi(\frac{m}{d})\)

欧拉函数:

其中\(p_1, p_2……p_k\)为\(n\)的所有质因数，\(n\)是不为\(0\)的整数。\(\varphi(1)=1\)（唯一和\(1\)互质的数就是\(1\)本身）。

\[\varphi(n)=n\prod _ {i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_i}) \]

因为n最多有一个大于\(\sqrt{n}\)的质因数

所以可以得到以下代码

inline long long Eular(long long n)
{
	long long ans=n;
	for(re int i=2; 1ll*i*i<= n; i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans-=ans/i;
			while(n%i==0)
				n/=i;
		}
	}
	if(n>1)
		ans-=ans/n;
	return ans;
}

欧拉函数复杂度\(O(\sqrt n)\)

算法总复杂度\(O(T\sqrt n)\)

\[code \]

#include<cstdio>
#define re register
#define ll long long
using namespace std;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
	x=0;
	char s=(char)getchar();
	bool flag=false;
	while(!(s>='0'&&s<='9'))
	{
		if(s=='-')
			flag=true;
		s=(char)getchar();
	}
	while(s>='0'&&s<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+s-'0';
		s=(char)getchar();
	}
	if(flag)
		x=(~x)+1;
	return;
}
inline ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
 
inline long long Eular(long long n)
{
	long long ans=n;
	for(re int i=2; 1ll*i*i<= n; i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans-=ans/i;
			while(n%i==0)
				n/=i;
		}
	}
	if(n>1)
		ans-=ans/n;
	return ans;
}
int T;
int main()
{
	read(T);
	while(T--)
	{
		ll a,m;
		read(a),read(m);
		printf("%lld\n",Eular(m/gcd(a,m)));
	}
 
	return 0;
}