导数法求参数范围时注意问题
导数法求参数范围时需要注意的一些细节问题。
前言
【法1】图像法，\(f(x)=1+\cfrac{a}{x-a}\)，其对称中心为\((a，1)\)，
用变换法做出其函数图像如下，
由图像可得，要使得函数\(f(x)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递减，
须满足\(a\leq 1\)，又由于\(a>0\)，
故\(a\in (0，1]\)。
【法2】导数法，由于函数\(f(x)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递减，
则\(f'(x)\leq 0\)在区间\((1，+\infty)\)上恒成立，又\(a>0\)，
而\(f'(x)=\cfrac{1\cdot (x-a)-x\cdot 1}{(x-a)^2}\)
\(=\cfrac{-a}{(x-a)^2}\leq 0\) 恒成立，
则得到\(a>0\)即可。
这个结果是错误的，原因是确实有\(f'(x)\leq 0\)恒成立，但是如果不限制\(a\leq 1\)，
则若\(a>1\)，比如\(a=2\)时，会出现函数在区间\((1，a)\)上单调递减，
在区间\((a，+\infty)\)上单调递减，就是不能在区间\((1，+\infty)\)上单调递减，
原因是函数在\(x=a\)处是断开的。
那么要使得函数\(f(x)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递减，
则必须\(a\leq 1\)，又由于\(a>0\)，
故\(a\in (0，1]\)。
解后反思：像这样的分式函数，其图像肯定在分母处是断开的，不连续的，故导数法要慎用。
【法3】定义法，令\(1<x_1<x_2\)，
则\(f(x_2)-f(x_1)=\cfrac{x_2}{x_2-a}-\cfrac{x_1}{x_1-a}\)
\(=\cfrac{x_2(x_1-a)-x_1(x_2-a)}{(x_2-a)(x_1-a)}\)
\(=\cfrac{a(x_1-x_2)}{(x_2-a)(x_1-a)}\)
由于题目已知\(f(x)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递减，
则必须满足\(\cfrac{a(x_1-x_2)}{(x_2-a)(x_1-a)}<0\)恒成立，
而\(a(x_1-x_2)<0\)恒成立，则必须\((x_2-a)(x_1-a)>0\)恒成立，
又由于定义域为\((1，+\infty)\)，则必须\(x_2-a>0\)且\(x_1-a>0\)，
故\(a<x_1\)且\(a<x_2\)恒成立，\(x_1，x_2\in (1，+\infty)\)，
故\(a\leq 1\)，又由于\(a>0\)，
故\(a\in (0，1]\)。
【法1】：依托\(y=\cfrac{1}{x}\)的单调性，则\(1-2m>0\)，解得\(m<\cfrac{1}{2}\)；
【法2】：导数法，但是导数法很容易出错。
导数法：由\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，则有
\(f'(x)=-(1-2m)\cfrac{1}{x^2}\leq 0\)在区间\((0，+\infty)\)上恒成立，
即\(2m-1\leq 0\)，即\(m\leq \cfrac{1}{2}\)，这个结果是错误的，
原因是缺少验证，当\(m=\cfrac{1}{2}\)时， 函数\(f(x)=0\)为常函数，
不符合题意，故舍去，即\(m<\cfrac{1}{2}\)。
分析：\(g(x)=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{a}{2}x^2+1+2x\)，则\(g'(x)=x^2-ax+2\)，
由\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内存在单调递减区间，得到，
\(g'(x)=x^2-ax+2<0\)在区间\((-2，-1)\)上能成立，
分离参数得到，\(a<x+\cfrac{2}{x}\)在区间\((-2，-1)\)上能成立，
而\(\left(x+\cfrac{2}{x}\right)_{max}=-2\sqrt{2}\)，当且仅当\(x=\cfrac{2}{x}\)，即\(x=-\sqrt{2}\)时取到等号，
故实数\(a\)的取值范围为\((-\infty，-2\sqrt{2})\)。
注意：存在单调递减区间，应该得到\(f'(x)<0\)能成立，而不是\(f'(x)\leq 0\)能成立。
若\(a=-2\sqrt{2}\)，由\(g'(x)=x^2+2\sqrt{2}x+2=(x+\sqrt{2})^2\ge 0\)恒成立，
则函数\(g(x)\)只能有单调递增区间，不会存在单调递减区间。
