限定条件下的均值不等式求最值

前言

我们之所以感觉高三或高四很辛苦，除过高中最后一学年是冲刺阶段，任务量大，知识难度大，知识使用灵活，综合程度高，考查频次高，学习强度大这些原因之外，还有一个很重要的原因，就是我们不少学生一直在低效率层次上运转，但愿下面的题组和知识的总结方法，或许能给你一些学习方法和数学思维上启迪。

以 限定条件下的均值不等式使用 为案例作以说明，这本来也是重点和难点；

案例说明

模型详析：均值不等式中有一类常考题型，比如求限定条件下的最值问题，对应的解决方法是：常数代换或乘常数再除常数。

：已知\(2m+3n=2，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。 分析如下：

\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{2}\cdot (2m+3n）(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n})\)

\(=\cfrac{1}{2}\cdot (8+3+\cfrac{2m}{n}+\cfrac{12n}{m})\)

\(\ge \cfrac{1}{2}(11+4\sqrt{6})\)

当且仅当\(\left\{\begin{array}{l}{2m+3n=2}\\{\cfrac{2m}{n}=\cfrac{12n}{m}}\end{array}\right.\)时取到等号；

思维模式：

\(\begin{gather*} &2m+3n=2 \\ &\cdots \\&\cdots\end{gather*}\) \(\Bigg\}\xrightarrow[或间接推出]{直接给出} 2m+3n=2\xrightarrow[乘常数除以常数]{其他式子}\) \(\begin{cases} &\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n} \\ &\cfrac{1}{m}+\cfrac{4}{n} \\ &\cdots\end{cases}\)

掌握了上述的模型，就能解决这一类问题了吗，回答是否定的，因为限定条件完全可能会以其他形式给出来。请通过下列的例子自行体会、把握。

✍️ 限定条件以简单变形形式给出

已知\(m>0，n>0，m+\cfrac{3}{2}n=1\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

又或已知\(m>0，n>0，\cfrac{1}{n}+\cfrac{3n}{2m}=\cfrac{1}{mn}\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

详解：此时只需要将已知条件转化为\(2m+3n=2\)，接下来，就转化为上述题目了，你就应该会了。

解后反思：注意数学表达式的等价变形。

✍️ 限定条件以直线的形式给出

已知点\(P(m，n)\)在直线\(2x+3y=2，x>0，y>0\)上，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

详解：则有\(2m+3n=2\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值，又转化为上述问题了。

解后反思：注意其他数学知识的准确应用。

限定条件以线性规划形式给出

如已知\(x，y\)满足约束条件\(\begin{cases} &x+y\ge 3 \\ &x-y\ge -1 \\ &2x-y\leq 3 \end{cases}\) ，若目标函数\(z=ax+by（a＞0，b＞0）\)的最大值为10，则\(\cfrac{5}{a}+\cfrac{4}{b}\)的最小值为多少？

详解：做出可行域可知，

当目标直线经过点\((4，5)\)时，函数取得最大值，

即此时题目相当于已知\(4a+5b=10\)，求\(\cfrac{5}{a}+\cfrac{4}{b}\)的最小值，不是又转化为上述问题了吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确表达。

限定条件以极限或定积分的形式给出

已知\(\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\cfrac{x}{x^2+3x+1}=m+n，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

如已知\(\int_{1}^{2} x\; dx=m+n，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

详解：你可能不会极限和定积分的运算，但是肯定能知道，运算到最后的结果必然是\(m+n=\)某个确定的值，比如\(m+n=\cfrac{1}{5}\)，这样题目就转化为已知\(m+n=\cfrac{1}{5}，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值，这不就是上述题目吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

限定条件以二项式系数的形式给出

已知\((\cfrac{x}{2}+1)^9\)展开式中，含\(x^3\)项的系数为\(m+n，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

详解：\((\cfrac{x}{2}+1)^9\)展开式中通项公式为\(T_{r+1}=C_9^r\cdot (\cfrac{x}{2})^{9-r}\cdot 1^r=C_9^r\cdot x^{9-r}\cdot (\cfrac{1}{2})^{9-r}\cdot 1^r\)，当\(r=6\)时，含\(x^3\)项的系数为\(C_9^6\cdot (\cfrac{1}{2})^{9-6}=\cfrac{21}{2}\)

到此题目转化为已知\(m+n=\cfrac{21}{2}，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。这不就是上述题目吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

限定条件以数列形式给出

已知正项等比数列\(\{a_n\}\)满足：\(a_7=a_6+2a_5\)，若存在两项\(a_m，a_n\)，使得\(a_ma_n=16a_1^2\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

详解：由\(a_7=a_6+2a_5\)，得到\(a_5\cdot q^2=a_5\cdot q+2a_5\)，解得\(q=2\)或\(q=-1\)(舍去负值)，这样由\(a_m\cdot a_n=16a_1^2\)，

得到\((a_1)^2\cdot 2^{m-1}\cdot 2^{n-1}=16a_1^2\)，即\(2^{m-1}\cdot 2^{n-1}=16=2^4\)

即\(m+n=6，m >0，n >0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值，这样不就好解多了吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

限定条件以复合函数形式给出

已知函数\(f(x)=|1-\cfrac{1}{x}|\)，若\(0<a<b\)且满足方程\(f(a)=f(b)\)当你完整解完本题目，你会发现，这句话的用意是为了告诉你\(\cfrac{1}{a}\)\(+\)\(\cfrac{1}{b}\)\(=\)\(2\)，从而接下来能利用均值不等式求解求最小值；，求\(4a+b\)的最小值；

解析：由\(f(a)=f(b)\)，即\(|1-\cfrac{1}{a}|=|1-\cfrac{1}{b}|\)，结合\(f(x)\)的图象可知，\(a<1<b\)，

故去掉绝对值符号，得到\(\cfrac{1}{a}-1=1-\cfrac{1}{b}\)，

故得到\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=2\)，且\(0<a<1<b\)，

则 \(4a+b=\cfrac{1}{2}\times 2 \times(4a+b)=\cfrac{1}{2}\times(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})\times(4a+b)\)

\(=\cfrac{1}{2}(4+1+\cfrac{b}{a}+\cfrac{4a}{b})\geqslant \cfrac{1}{2}(5+2\sqrt{4}=9\)，

当且仅当 \(\cfrac{b}{a}=\cfrac{4a}{b}\) 且 \(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=2\) 时，

即 \(a=\cfrac{3}{4}\) 且 \(b=\cfrac{3}{2}\) 时取到等号；故 \((4a+b)_{\min}=\cfrac{9}{2}\) .

限定条件以向量形式给出

【2017宝鸡市三检】设向量\(\overrightarrow{OA}=(1，-2)\)，\(\overrightarrow{OB}=(a，-1)\)，\(\overrightarrow{OC}=(-b，0)\)，其中\(O\)为坐标原点，\(a，b>0\)，若\(A,B,C\)三点共线，则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值为多少？

详解：由三点共线的向量表达方式可知，存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{OA}=\lambda \overrightarrow{OB}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}\)，

即\((1，-2)=\lambda(a，-1)+(1-\lambda)(-b，0)\)，

即\(\begin{cases}\lambda a-(1-\lambda)b=1\\-\lambda=-2\end{cases}\)，

即\(2a+b=1\)，这样题目就转化为已知\(2a+b=1，a>0，b>0\)，求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值，这不就是上述题目吗？

解后反思：注意三点共线的向量表示形式。

限定条件以以对数方程的形式给出

已知\(x>0\),\(y>0\)，\(lg2^x+lg8^y=lg2\)，求\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{3y}\)的最小值。

详解：由已知条件可知，\(lg2^x+lg2^{3y}=lg2\)，即\(lg2^{x+3y}=lg2\)，即\(x+3y=1\)，到此题目转化为\(x+3y=1，x>0，y>0\)，求\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{3y}\)，不就容易了吗？

解后反思：注意对数的运算性质和运算法则。

限定条件直线过圆心或直线平分圆的形式给出

已知直线\(ax+by-6=0(a，b>0)\)过圆\(x^2+y^2-2x-4y=0\)的圆心(或直线平分此圆)，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。

详解：圆心即\((1，2)\)，直线经过圆心，则有\(a+2b-6=0\)，即\(a+2b=6\)。

到此，题目为\(a+2b=6，a>0，b>0\)，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。可仿模型解决。

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

限定条件以概率的形式给出

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为\(a\)，得2分的概率为\(b\)，不得分的概率为\(c\)（\(a,b,c\in (0,1)\)）,已知他投篮一次得分的均值为2，求\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{3b}\)的最小值。

详解：分析：由题目可知投篮一次得分的均值\(EX=3a+2b=2(a>0,b>0)\)，求\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{3b}\)的最小值。

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

限定条件以解三角形和三角形的面积形式给出

已知点M是\(\Delta ABC\)内的一点，且\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}\)，\(\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}\)，若\(\Delta MBC,\Delta MCA,\Delta MAB\)的面积分别为\(\cfrac{1}{2},x,y\)，求\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}\)的最小值。

详解：由\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}\)，\(\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}\)，

故有\(|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|cos\cfrac{\pi}{6}=2\sqrt{3}\)，得到\(bc=4\)，

所以\(S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}bcsin\cfrac{\pi}{6}=1\)，

又\(\Delta MBC,\Delta MCA,\Delta MAB\)的面积分别为\(\cfrac{1}{2},x,y\)，

故有\(\cfrac{1}{2}+x+y=1\)，即\(x+y=\cfrac{1}{2}\)。

到此，题目为已知\(x+y=\cfrac{1}{2}，x>0，y>0\)，求\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}\)的最小值。可仿模型解决。

解后反思：注意向量和三角形面积公式的使用。

限定条件以导数和极值的形式给出

已知\(a>0，b>0\)，且函数\(f(x)=-x^3+2ax^2+bx+1\)在\(x=1\)处有极值，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。

详解：\(f'(x)=-3x^2+4ax+b\)，\(f'(1)=-3+4a+b=0\)，到此即相当于已知\(4a+b=3，a>0，b>0\)，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。

解后反思：注意导数的运算。

限定条件以正态分布的形式给出

已知随机变量\(X\)服从正态分布\(X \sim N(10，\sigma^2)\)，\(P( X > 12)=m\) ，\(P(8\leq X \leq 10)=n\) ，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

详解：由正态分布图像的对称性可知，\(m+n=\cfrac{1}{2}\)

到此，题目转化为已知\(m+n=\cfrac{1}{2}\)，\(m >0，n >0\)，求$ \cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。仿模型求解即可。

解后反思：注意正态分布的知识点的应用。

限定条件以函数在点处的切线斜率的形式给出

已知函数\(f(x)=ax^2+bx(a>0，b>0)\)的图像在点\((1，f(1))\)处的切线的斜率为2，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。

详解：由题目可知，\(f'(1)=2a+b=2\)，即已知\(2a+b=2，a >0，b >0\)，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值，仿模型求解。

解后反思：注意导数的几何意义。

限定条件以函数的性质的形式给出

已知函数\(f(x)=2x-sinx\)，若正实数\(a，b\)满足\(f(a)+f(2b-1)=0\)，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。

详解：函数\(f(x)\)为奇函数，\(f'(x)=2-cosx>0\)，故增函数，故\(f(a)+f(2b-1)=0\)，即\(f(a)=-f(2b-1)=f(1-2b)\)，即转化为\(a+2b=1\)，

到此，转化为已知\(a+2b=1\)，\(a>0，b>0\)，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。

解后反思：注意抽象函数的性质的应用。

限定条件以隐含条件的形式给出

求\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0< x <2)\)的最小值。

详解：注意到隐含条件\(x+(2-x)=2，x>0，2-x>0\)，则容易看到题目其实为已知\(x+(2-x)=2\)，\(x >0，2-x >0\)，求\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0<x<2)\)的最小值。

\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}\)

\(=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})\times 2\)

\(=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)]\)

\(=\cfrac{1}{2}(1+4+\cfrac{2-x}{x}+\cfrac{4x}{2-x})\)，

\(\ge \cfrac{1}{2}(5+2\sqrt{4})=\cfrac{9}{2}\)，

当且仅当\(\cfrac{2-x}{x}=\cfrac{4x}{2-x}\)且\(0< x <2\)时，

即\(x=\cfrac{2}{3}\)时取得等号。

故\(f(x)\)的最小值为\(\cfrac{9}{2}\)。

【引申】求\(f(x)=\cfrac{x+1}{x}+\cfrac{6-x}{2-x}(0< x < 2)\)的最小值。

分析：\(f(x)=1+\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}+1\)

\(=2+\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}\)

解后反思：此处相当于\(x=a，2-x=b，a+b=2\;\;\)，求\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{4}{b}\)

限定条件不直接给出+拼凑项

已知函数\(f(x)=2x-sinx\)，若正实数\(a，b\)满足\(f(a)+f(2b-1)=0\)，求\(\cfrac{4}{a+1}+\cfrac{1}{2b+1}\)的最小值。

详解：函数\(f(x)\)为奇函数，增函数，故\(f(a)+f(2b-1)=0\)，即\(f(a)=-f(2b-1)=f(1-2b)\)，即转化为\(a+2b=1\)，到此，转化为已知\(a+2b=1\)，\(a>0，b>0\)，再变形为\((a+1)+(2b+1)=3\)，即最后转化为已知\((a+1)+(2b+1)=3\)，\(a>0，b>0\)，求\(\cfrac{4}{a+1}+\cfrac{1}{2b+1}\)的最小值。

解后反思：本题目和例16相比较，仅仅多了一步拼凑系数的变形。

利用点线距的形式给出

【2017浙江嘉兴一中模拟】已知直线\(\sqrt{2}ax+by=1\)(其中\(ab\neq0\))与圆\(x^2+y^2=1\)相交于\(A、B\)两点，\(O\)为坐标原点，且\(\angle AOB=120^{\circ}\)，则\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{2}{b^2}\)的最小值为_____________.

详解：分析：自行做出示意图，结合题目条件，我们可以知道圆心到直线的点线距为\(d=\cfrac{1}{2}\)，

即\(d=\cfrac{1}{2}=\cfrac{|\sqrt{2}a\times 0+b\times0-1|}{\sqrt{2a^2+b^2}}\)，即\(2a^2+b^2=4\)，

到此题目转化为已知\(2a^2+b^2=4\)，求\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{2}{b^2}\)的最小值问题。

利用乘常数除常数的方法解决即可。

新题补充

【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知函数\(f(x)=ln(x+1)+x^2-ax\)，其中\(0<a<1\)，若曲线\(y=f(x)\)在\((0，f(0))\)处的切线为\(y=bx\)，则\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{2b}\)的最小值为【】

$A.5$ $B.\cfrac{9}{2}$ $C.4$ $D.\cfrac{7}{2}$

分析：由题目可知，\(f'(x)=\cfrac{1}{x+1}+2x-a\)，又\(f'(0)=b\)，即\(1-a=b\)，则有\(a+b=1\)，

则\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{2b}=(a+b)(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{2b})=2+\cfrac{1}{2}+\cfrac{2b}{a}+\cfrac{a}{2b}\geqslant \cfrac{5}{2}+2=\cfrac{9}{2}\)，

当且仅当\(a=2b\)时取到等号，即\(a=\cfrac{2}{3}\)，\(b=\cfrac{1}{3}\)时取得等号。故选\(B\)。

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】设\(O\)为坐标原点，第一象限内的点\(M(x，y)\)的坐标满足约束条件\(\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6\leqslant 0}\\{x-y+2\geqslant 0}\end{array}\right.\)，若\(z=ax+by(a>0,b>0)\)的最大值为\(80\)，则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值为_________。

分析：相当于已知\(4a+5b=40\)，求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值，提示：\(\cfrac{9}{40}+\cfrac{\sqrt{5}}{10}\)。

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知函数\(f(x)=|2x-4|+|x-3|\)，

（1）求不等式\(f(x)<8\)的解集；

提示：分区间讨论法，转化为分段函数不等式求解，解集\((-3，1)\)。

（2）若\(a>0\)，\(b>0\)，且方程\(f(x)=3a+2b\)有且仅有一个实数根，求\(\cfrac{9}{2a+b}+\cfrac{4}{a+b}\)的最小值；

分析：由（1）可知，\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x\leqslant -2}\\{x+7，-2<x<3}\\{3x+1，x\geqslant 3}\end{array}\right.\)

故函数\(f(x)\)在\((-\infty，-2)\)上单调递减，在\([-2，+\infty)\)上单调递增，

由于方程\(f(x)=3a+2b\)有且仅有一个实数根，故可知\(3a+2b=f(-2)=5\)，

[备注：此时\(3a+2b\)理解为一个整体，比如\(3a+2b=m\)，即方程\(f(x)=m\)有且仅有一个根，即函数\(y=f(x)\)与\(y=m\)仅有一个交点。]

即\((2a+b)+(a+b)=5\)，且\(a>0\)，\(b>0\)，求\(\cfrac{9}{2a+b}+\cfrac{4}{a+b}\)的最小值；

\(\cfrac{9}{2a+b}+\cfrac{4}{a+b}=\cfrac{1}{5}(\cfrac{9}{2a+b}+\cfrac{4}{a+b})\times 5\)\(\cfrac{1}{5}(\cfrac{9}{2a+b}+\cfrac{4}{a+b})[(2a+b)+(a+b)]\)

\(=\cfrac{1}{5}(9+4+\cfrac{9(a+b)}{2a+b}+\cfrac{4(2a+b)}{a+b})\geqslant \cfrac{13}{5}+\cfrac{1}{5}\times 2\sqrt{\frac{9(a+b)}{2a+b}\times \frac{4(2a+b)}{a+b}}\)\(=\cfrac{13}{5}+\cfrac{12}{5}=5\)

当且仅当\(\cfrac{9(a+b)}{2a+b}=\cfrac{4(2a+b)}{a+b}\)，即\(a=b=1\)时取等号。

故\(\cfrac{9}{2a+b}+\cfrac{4}{a+b}\)的最小值为\(5\).

【2020届高三数学试题】已知函数\(f(x)=log_a(x+3)-1(a>0,a\neq 1)\)的图像恒过定点\(A\)，若点\(A\)在直线\(mx+ny+4=0\)上，其中\(mn>0\)，则\(\cfrac{1}{m+1}+\cfrac{2}{n}\)的最小值为______________。

分析：点\(A(-2，-1)\)满足直线方程，故得到\(2m+n=4\)，即\(2(m+1)+n=6\)，

故\(\cfrac{1}{m+1}+\cfrac{2}{n}=\cfrac{1}{6}\times [2(m+1)+n](\cfrac{1}{m+1}+\cfrac{2}{n})=\cdots \geqslant \cfrac{4}{3}\)，

然后验证等即可，故所求的最小值为\(\cfrac{4}{3}\)。

解后反思：总结了以上的类型后，够不够用呢？

【模型1】：已知\(2m+3n=2，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。(给定条件是整式，求分式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)

分析如下：\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{2}\cdot (2m+3n）(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n})=\cfrac{1}{2}\cdot (8+3+\cfrac{2m}{n}+\cfrac{12n}{m})=\cdots\)

【模型2】：已知\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=2，m>0，n>0\)，求 \(2m+3n\)的最小值。(给定条件是分式，求整式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)

【对照1】：已知\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1，a>0，b>0\)，求 \(\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}\)的最小值。(给定条件是分式，求分式的最值，变量集中，再使用均值不等式)

【对照2】：已知\(2a+b=1，a>0，b>0\)，求 \(a^2+2b^2\)的最小值。(给定条件是整式，求整式的最值，变量集中，用函数求解最值)

看完这些内容，你难道不觉得我们很需要好好的改造我们的学习方法吗，比如说留意限定条件的各种可能的给出方式；