求曲线上的动点到直线的距离的最值
求曲线上的动点到直线的距离的最值
前言
总结归纳求曲线上的动点到直线的距离的最值问题，这样的曲线常见的有圆，椭圆，双曲线，抛物线，以及还可以拓展到函数图像上的动点到直线的距离的最值问题。
类型总结
- Ⅰ：圆上的动点到直线的距离[点线距]的最值
如给定圆\(C：x^2+y^2=4\)，和直线\(y=x+4\)，求圆上任意一点到直线的距离[点线距]的最大值和最小值。
常用方法：
①几何方法，圆心到直线的距离为\(d\)，则点线距的最大值为\(d+r\)，最小值为\(d-r\)；
②平行线法，先设与已知直线平行且和圆相切的直线为\(y=x+m\)，联立方程组，利用\(\Delta=0\)求得\(m\)的两个值，则点线距的最小值为线线距中的最小值，其最大值为线线距中的最大值；
③参数方程法[或三角函数法]，圆上任意一点坐标\((2cos\theta，2sin\theta)\)，利用点到直线的距离公式转化为三角函数求最值；
其中以几何方法最为简单；
- Ⅱ：椭圆上的动点到直线的距离[点线距]的最值
如给定椭圆\(C：\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{3}=1\)，和直线\(y=x+5\)，求椭圆上任意一点到直线的距离[点线距]的最大值和最小值。
常用方法：
①几何方法，失效；
②平行线法，先设与已知直线平行且和椭圆相切的直线为\(y=x+m\)，联立方程组，利用\(\Delta=0\)求得\(m\)的两个值，则点线距的最小值为线线距中的最小值，其最大值为线线距中的最大值；
③参数方程法[或三角函数法]，椭圆上任意一点坐标\((2cos\theta，\sqrt{3}sin\theta)\)，利用点到直线的距离公式转化为三角函数求最值；
分析：首先易知椭圆和直线没有交点，即二者相离，从而可以考虑用椭圆的参数方程或平行线法求解。
法1、利用椭圆的参数方程，由椭圆方程\(\cfrac{x^2}{3}+y^2=1\)可知，动点坐标\(P(\sqrt{3}cos\theta，sin\theta)\)，
则点P到直线\(x+y-8=0\)的距离为\(d\)，则有
\(d(\theta)=\cfrac{|\sqrt{3}cos\theta+sin\theta-8|}{\sqrt{2}}=\cfrac{|2sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})-8|}{\sqrt{2}}\)，
故当\(sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})=1\)时，\(d_{min}=\cfrac{|2-8|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)；
\(sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})=-1\)时，\(d_{max}=\cfrac{|-2-8|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\)；[1]
法2、平行线法，设和已知平行且和已知椭圆相切的直线\(x+y+m=0\)，
则由\(x+y+m=0\)和\(\cfrac{x^2}{3}+y^2=1\)，消去\(y\)可得\(4x^2+6mx+3m^2-3=0\)，
由二者相切可知，\(\Delta=36m^2-4\times4(3m^2-3)=0\)，解得\(m=\pm 2\)，
即和椭圆相切的直线有\(x+y-2=0\)和\(x+y+2=0\)，故切点到直线\(x+y-8=0\)的距离就可以用两条平行线间的距离来刻画，
则\(d_{max}=\cfrac{|2-(-8)|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\)，\(d_{min}=\cfrac{|-2-(-8)|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)。
- Ⅲ：抛物线上的动点到直线的距离[点线距]的最值
如给定抛物线\(C：y^2=4x\)，和直线\(y=x+4\)，求抛物线上任意一点到直线的距离[点线距]的最大值和最小值。
常用方法：
①几何方法，失效；
②平行线法，先设与已知直线平行且和抛物线相切的直线为\(y=x+m\)，联立方程组，利用\(\Delta=0\)求得\(m\)的一个值，则线线距即为所求的点线距的最小值；
③参数方程法[或二次函数法]，由抛物线的参数方程，比如其上任意一点坐标\((2s^2，2\sqrt{2}s)\)，利用点到直线的距离公式转化为二次函数求最值；
分析：直线\(l\)的直角坐标方程是\(x-2y+8=0\)，曲线\(C\)上的动点\(P\)的坐标\((2s^2，2\sqrt{2}s)\)，
则由点到直线的距离公式可得，
\(d=d(s)=\cfrac{|2s^2-4\sqrt{2}s+8|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\)\(=\cfrac{|2(s-\sqrt{2})^2+4|}{\sqrt{5}}\)
当\(s=\sqrt{2}\)时，\(d_{min}=\cfrac{4\sqrt{5}}{5}\)。
- Ⅳ：函数图像上的动点到直线的距离[点线距]的最值
常用方法：
①几何方法，失效；
②平行线法[切线法]，先设与已知直线平行且和抛物线相切的直线为\(y=x+m\)，此时不能利用\(\Delta=0\)求解，
只能用切线法，则线线距即为所求的点线距的最小值；
③参数方程法，失效；
【等价题目】直线\(y=x\)上的点为\(P(x，y)\)，函数\(y=lnx\)上的点是\(Q(m，n)\)，求\(\sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}\)的最小值。
思路：平行线法，设和直线\(y=x\)平行且和函数\(y=lnx\)相切的直线为\(y=x+m\)，
切点为\(P_0(x_0，y_0)\)，则有
\(\begin{cases} y_0=x_{0}+ m\\y_0=lnx_0 \\ f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}=1\end{cases}\)；
从而解得\(x_0=1，y_0=0，m=-1\)
所以所求的点点距的最小值，就转化为切点\(P_0(1,0)\)到直线\(x-y=0\)的点线距，
故所求的最小值为\(d=\cfrac{|1-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)。
或者两条直线\(y=x，y=x-1\)的线线距\(d=\cfrac{|1-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)。
解: 由 \(y=x+\cfrac{4}{x}(x>0)\)， 得 \(y^{\prime}=1-\cfrac{4}{x^{2}}\)，
设斜率为 \(-1\) 的直线与曲线 \(y=x+\cfrac{4}{x}(x>0)\) 切于 \((x_{0}, x_{0}+\cfrac{4}{x_0})\)，
由\(1-\cfrac{4}{x_{0}^{2}}=-1\)， 解得 \(x_{0}=\sqrt{2}(x_{0}>0)\)，
则曲线 \(y=x+\cfrac{4}{x}(x>0)\) 上的点\(P(\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\) 到直线 \(x+y=0\) 的距离最小，
故所求最小值为 \(\cfrac{|\sqrt{2}+3 \sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=4\)
法1：由题意得到，点\(A(t,e^t+1)\)，点\(B(t,2t-1)\)，则由平面内两点间的距离公式可得，
\(|AB|=\sqrt{(t-t)^2+(e^t-1-(2t-1))^2}=|e^t-1-(2t-1)|=|e^t-2t+2|\)，
令\(h(t)=e^t-2t+2\)，则\(h'(t)=e^t-2\)，
所以\(h(t)\)在\((-\infty,ln2)\)上单调递减，在\((ln2,+\infty)\)上单调递增，
故\(h(t)_{min}=h(ln2)=4-2ln2>0\)，故\(|AB|_{min}=4-2ln2\).
法2：设和直线\(y=2x-1\)平行的直线\(y=2x+m\)与曲线相切于点\(P(x_1,y_0)\)，
则\(\left\{\begin{array}{l}{e^{x_0}=2}\\{y_0=2x_0+m}\\{y_0=e^{x_0}+1}\end{array}\right.\) \(\quad\)故解得切点\((ln2,3)\)
故由图可知，当\(x=t=ln2\)时，\(|AB|\)距离最小，最小值为\(f(ln2)-g(ln2)=4-2ln2\)；
提示：平行线法，设和直线\(y=2x-1\)平行的直线\(y=2x+m\)与曲线相切于点\(P(x_1,y_0)\)，
则\(\left\{\begin{array}{l}{e^{x_0}=2}\\{y_0=2x_0+m}\\{y_0=e^{x_0}+1}\end{array}\right.\) \(\quad\)故解得切点\((ln2,3)\)，\(m=3-2ln2\)，
故所求的\(|PQ|\)的最小值即为点\((ln2,3)\)到直线\(2x-y-1=0\)的点线距，为\(\cfrac{|2ln2-3-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\cfrac{\sqrt{5}(4-2ln2)}{5}\)；
对应练习
问题：为什么不设点\(P\)的坐标为\((x，y)\)而采用参数坐标形式\((\sqrt{3}cos\theta，sin\theta)\)?前者坐标形式是二元形式，后者是一元形式，故后者简单。 ↩︎
