概率与统计可能考向收集整理[三轮总结]
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概率与统计可能考向收集整理[三轮总结]
前言
概率与统计中的常见考查角度
考查概率，
涉及古典概型或几何概型，或条件概率
分析：古典概型，点\(P(m，n)\)共有$(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)$6种情况，
只有\((2,1)，(2,2)\)这2个点在圆\(x^2＋y^2＝9\)的内部，所求概率为\(\cfrac{2}{6}＝\cfrac{1}{3}\)。
则\(BM<1\)的概率是（\(\hspace{1cm}\)）。
分析：本题是角度型几何概型，
\(P=\cfrac{30^{\circ}}{75^{\circ}}=\cfrac{2}{5}\)。
分析：本题目为条件概率[理科题目]，设“种子发芽”为事件\(A\)，“种子成长为幼苗”为事件\(AB\)(发芽，又成活为幼苗)
出芽后的幼苗成活率为\(P(B|A)=0.8\)，\(P(A)=0.9\)，
根据条件概率公式\(P(AB)=P(B|A)\cdot P(A)=0.8×0.9=0.72\)，
即这粒种子能成长为幼苗的概率为\(0.72\).
利用互斥事件或者对立事件的概率考查
(1)求顾客抽奖一次能获奖的概率。
【法1】(相互独立事件+互斥事件)：记“抽奖一次能获一等奖”为事件\(A\)，“抽奖一次能获二等奖”为事件\(B\)，
“顾客抽奖一次能获奖”为事件\(C\)，则事件\(A、B\)是互斥事件，且\(C=A+B\)，两次抽奖是相互独立事件，
则\(P(A)=\cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{20}{100}\)，
\(P(B)=\cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}+\cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{50}{100}\)
故\(P(C)=P(A+B)=\cfrac{70}{100}=\cfrac{7}{10}\)。
【法2】(对立事件+相互独立事件)：设“没有获奖”为事件\(D\)，
则\(P(C)=1-P(D)=1-\cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{7}{10}\)。
特征数据
考查统计案例，频率分布直方图中的特征数据，如平均数、中位数、众数等
解释：以右图题目为例，
求众数：“旧养殖法”的众数为\(47.5\)；“新养殖法”的众数为\(52.5\)；
求中位数：“旧养殖法”的中位数先判断其大概位置，由于\(25-50\)之间的面积和为\(0.62\)，25-45之间的面积和为\(0.42\)，
故中位数一定位于\(45-50\)之间，设中位数为\(x\)，则\(0.42+(x-45)\times0.04=0.50\)，求得\(x=47\)，即中位数为\(47\)。
求平均数：比如“旧养殖法”的平均数的计算
\(\bar{x}=27.5\times5\times0.012+32.5\times5\times0.014\)
\(+37.5\times5\times0.024+42.5\times5\times0.034\)
\(+47.5\times5\times0.040+52.5\times5\times0.032\)
\(+57.5\times5\times0.020+62.5\times5\times0.012+67.5\times5\times0.012\)
\(=47.1；\)
“新养殖法”的平均数的计算
\(\bar{y}=37.5\times5\times0.004+42.5\times5\times0.020\)
\(+47.5\times5\times0.044+52.5\times5\times0.068\)
\(+57.5\times5\times0.046+62.5\times5\times0.010+67.5\times5\times0.008\)
\(=52.35；\)
求方差：比如“新养殖法”的方差计算
\(S^2=(37.5-52.35)^2\times 0.004\times 5+(42.5-52.35)^2\times 0.020\times 5+(47.5-52.35)^2\times 0.044\times 5\)
\(+(52.5-52.35)^2\times 0.068\times 5+(57.5-52.35)^2\times 0.046\times 5\)
\(+(62.5-52.35)^2\times 0.010\times 5+(67.5-52.35)^2\times 0.008\times 5\)
\(=?\)
感悟反思：
1、深入理解频率分布直方图，掌握众数、中位数、平均数、方差的算法；
2、为什么平均数要这样计算？比如给定数据\(1，2，3，4，5\)的平均数的算法是\(\bar{x}=\cfrac{1+2+3+4+5}{5}=3\)，那么给定数据\(2，2，4，4，4\)的平均数的算法是\(\bar{x}=\cfrac{2+2+4+4+4}{5}=\cfrac{2\times 2+4\times 3}{5}\)\(=2\times \cfrac{2}{5}+4\times \cfrac{3}{5}\)，表达式中的\(\cfrac{2}{5}\)和\(\cfrac{3}{5}\)的含义就是\(\cfrac{频数}{样本容量}=频率\)。
考察用样本数据特征估计总体的数据特征
(1).从总体的\(400\)名学生中随机抽取一人，估计其分数小于\(70\)的概率；
分析：解答本题目应该注意到两点：①用频率分布直方图计算出来的其实是频率，我们只是用此频率粗略的估计概率；②计算所得的概率是直方图中的\(100\)个样本数据的概率，还需要用此样本数据的概率粗略的估计总体数据\(400\)的概率；据此计算说明如下：
由频率分布直方图可知，样本中分数小于\(70\)的频率：\(1-(0.02+0.04)\times 10=0.4\)，
所以从总体的\(400\)名学生中随机抽取一人，其分数小于\(70\)分的概率为\(0.4\)；
(2).已知样本中分数小于\(40\)的学生的学生有\(5\)人，试估计总体中分数在\([40,50)\)内的人数；
分析：学生易错的问题，忘记用样本数据来估计总体数据，其本质是没有理解数学的学习本质，是为了服务生产和生活；
由题意可知，样本中分数不小于\(50\)的频率为\((0.01+0.02+0.04+0.02)\times 10=90\)，
则分数在\([40，50)\)内的人数为\(100-100\times 0.9-5=5\)，即样本中分数在\([40，50)\)内的频率[或概率]为\(\cfrac{5}{100}=0.05\)，
则总体中分数在\([40，50)\)内的频率[或概率]为\(\cfrac{5}{100}=0.05\)，分数在\([40，50)\)内的人数为\(400\times 0.05=20\)；
(3).学生易错的问题，由题可知，样本中分数不小于\(70\)的人数为\((0.02+0.04)\times 10\times 100=60\)，
所以样本中分数不小于\(70\)分的男生人数为\(60\times \cfrac{1}{2}=30\)；
则样本中男生人数为\(30\times 2=60\)，故样本中女生人数为\(100-60=40\)，
所以样本中男生和女生人数的比例为\(60:40=3:2\)，由分层抽样原理可知，
估计总体中的男生和女生人数的比例为\(3:2\).
统计部分
考查统计案例，线性回归方程的相关问题
| 月份\(x\) | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
|---|---|---|---|---|---|
| 储蓄存款\(y\)(千亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
为便于计算，将上表做一处理，令\(t=x-2010\)，\(z=y-5\)，得到下表2：
| 时间代号\(t\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(z\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
附可能用到的公式：线性回归直线为\(\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}\)，
\(\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}\)，
\(\widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b}\cdot\bar{x}\).
(1)求\(z\)关于\(t\)的线性回归方程。
分析：需要先注意\(z\rightarrow y\;\;\)，\(t\rightarrow x\;\;\)，然后将所给的公式翻译为关于\(z\)和\(t\)的公式，这涉及到数学素养，公式的正向迁移。
由表格可知，\(\bar{t}=3\)，\(\bar{z}=2.2\)， \(\sum\limits_{i=1}^5{t_iz_i}=45\)， \(\sum\limits_{i=1}^5{t_i^2}=55\)，
故\(\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{t_iz_i-n\cdot\bar{t}\cdot\bar{z}}}{\sum\limits_{i=1}^n{t_i^2-n\cdot\bar{t}^2}}\)，
\(=\cfrac{45-5\times 3\times 2.2}{55-5\times 9}=1.2\)，
\(\widehat{a}=\bar{z}-\widehat{b}\cdot\bar{t}=2.2-3\times 1.2=-1.4\)。
故\(\hat{z}=1.2t-1.4\)。
(2)通过(1)中的方程，求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程。
分析：将\(t=x-2010\)，\(z=y-5\)代入\(\hat{z}=1.2t-1.4\)，
得到\(y-5=1.2\times (x-2010)-1.4\)，
即\(\hat{y}=1.2x-2408.4\)。
(3)用所求的线性回归方程预测，到\(2020\)年底，该地的储蓄存款余额可达到多少？
分析：当\(x=2020\)时，代入\(\hat{y}=1.2x-2408.4\)，
得到\(\hat{y}=1.2\times 2020-2408.4=15.6(千亿元)\)。
相关链接：数据预处理的不同思路，数据预处理
统计案例
独立性检验的相关问题
| 次数 | <40 | 40~49 | 50~59 | 60~69 | $\ge $70 |
|---|---|---|---|---|---|
| 男 | \(2\) | \(3\) | \(2\) | \(7\) | \(6\) |
| 女 | \(1\) | \(3\) | \(8\) | \(6\) | \(2\) |
（1）根据题意完成下面的\(2\times 2\)列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“是否获奖”与“性别”有关？
| 有奖 | 无奖 | 总计 | |
|---|---|---|---|
| 男 | \(13\) | \(7\) | \(20\) |
| 女 | \(8\) | \(12\) | \(20\) |
| 总计 | \(21\) | \(19\) | \(40\) |
\(\chi^2=\cfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=\cfrac{40(13\times12-7\times 8)^2}{20\times20\times21\times19}\approx 2.5<2.706\)，
所以没有90%的把握认为“是否获奖”与“性别”有关。
（2）在这40名顾客中，从支付次数达到70的人中随机抽取3人，设抽取的女性有\(X\)人，求\(X\)的分布列及数学期望\(E(X)\)。
附：参考公式\(\chi^2=\cfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，
参考数据：
解析：支付次数达到70的顾客共有8人，其中6名男性，2名女性，从中随机抽取3人，抽取的女性人数服从超几何分布，\(X\)的所有可能取值为\(0，1，2\)
且\(P(X=0)=\cfrac{C_6^3}{C_8^3}=\cfrac{20}{56}\)，\(P(X=1)=\cfrac{C_2^1C_6^2}{C_8^3}=\cfrac{30}{56}\)，
\(P(X=2)=\cfrac{C_2^2C_6^1}{C_8^3}=\cfrac{6}{56}\)，
所以分布列如下，略。
数学期望为\(E(X)=0\times \cfrac{20}{56}+1\times \cfrac{30}{56}+2\times \cfrac{6}{56}=\cfrac{3}{4}\)。
离散型随机变量
离散型随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望、方差，及性质
(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度。现从全市市民中随机抽取了4人，估计这4人中至少有2人非常满意的概率；
(2)在等级为不满意市民中，老年人占比\(\cfrac{1}{3}\)，现从该等级市民中按年龄分层抽取了15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记\(X\)为老年督导员的人数，求\(X\)的分布列和数学期望\(E(X)\).
(3)相关部门对西安地铁运营状况进行评估，评估的硬指标是：市民对西安地铁运营状况的满意指数不低于0.8，否则需要整改，根据你所学的统计知识，判断地铁运营状况能否通过评估，并说明理由。(说明：满意指数=\(\cfrac{满意程度的平均分}{100}\))
【分析】：(1)首先由频率分布直方图计算得到\(a=0.025\)，市民非常满意的概率为\(0.025\times 10=0.25=\cfrac{1}{4}\)，
注解：由题目可知市民的满意度评分相互独立，随机抽取4人做调查，到此我们就可以理解相当于做了4次独立重复试验，
每次试验满意概率为\(\cfrac{1}{4}\)，不满意概率为\(\cfrac{3}{4}\)，这样就只能考虑二项分布而不是超几何分布了。
令满意人数为\(X\)，则\(X\sim B(4，\cfrac{1}{4})\)，且\(P(X=k)=C_4^k\cdot (\cfrac{1}{4})^k\cdot (\cfrac{3}{4})^{4-k}\)，\(k=0，1，2，3，4\)
故所求的概率即\(P=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=\cfrac{67}{256}\)，
或\(P=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C_4^0\cdot (\cfrac{1}{4})^0\cdot (\cfrac{3}{4})^{4}-C_4^1\cdot (\cfrac{1}{4})^1\cdot (\cfrac{3}{4})^{3}=\cfrac{67}{256}\).
(2)抽取的15中，老年人占\(15\times \cfrac{1}{3}=5\)，其他人占10人，从中抽取3人担任督导员，是无放回抽取，故容易理解是超几何分布。
且 \(X\sim H\left(15，5，3\right)\)，\(P(X=k)=\cfrac{C_3^kC_{10}^{3-k}}{C_{15}^3}，k=0，1，2，3\)；
故\(P(X=0)=\cfrac{C_3^0C_{10}^{3}}{C_{15}^3}=\cfrac{24}{91}\)，\(P(X=1)=\cfrac{C_3^1C_{10}^{2}}{C_{15}^3}=\cfrac{45}{91}\)，
\(P(X=2)=\cfrac{C_3^2C_{10}^{1}}{C_{15}^3}=\cfrac{20}{91}\)，\(P(X=3)=\cfrac{C_3^3C_{10}^{0}}{C_{15}^3}=\cfrac{2}{91}\)，
分布列从略。
\(EX=0\times \cfrac{24}{91}+1\times\cfrac{45}{91}+2\times\cfrac{20}{91}+3\times\cfrac{2}{91}=1\)
(3)由频率分布直方图求平均数，得到，
\((45\times 0.002+55\times 0.004+65\times 0.014+75\times 0.02+85\times 0.035+95\times 0.025)\times 10=80.7\)
即市民满意度的平均分为\(80.7\)，满意度指数为\(\cfrac{80.7}{100}=0.807>0.8\)；
即地铁运营状况能够通过验收。
(1)求顾客抽奖一次能获奖的概率。
【法1】(相互独立事件+互斥事件)：记“抽奖一次能获一等奖”为事件\(A\)，“抽奖一次能获二等奖”为事件\(B\)，
“顾客抽奖一次能获奖”为事件\(C\)，则事件\(A、B\)是互斥事件，且\(C=A+B\)，两次抽奖是相互独立事件，
则\(P(A)=\cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{20}{100}\)，
\(P(B)=\cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}+\cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{50}{100}\)
故\(P(C)=P(A+B)=\cfrac{70}{100}=\cfrac{7}{10}\)。
【法2】(对立事件+相互独立事件)：设“没有获奖”为事件\(D\)，
则\(P(C)=1-P(D)=1-\cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{7}{10}\)。
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获得一等奖的次数为\(X\)，求\(X\)的分布列、数学期望和方差。
由于顾客在每次抽奖过程中，中一等奖的概率都为\(\cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{1}{5}\)，
那么此人抽奖3次，相当于做了3次独立重复实验，故\(X\sim B(3，\cfrac{1}{5})\)，\(X=0，1，2，3\)；
即\(P(X=k)=C_3^k\cdot (\cfrac{1}{5})^k(1-\cfrac{1}{5})^{3-k}\)，\(k=0，1，2，3\)；
则\(P(X=0)=C_3^0\cdot (\cfrac{1}{5})^0(1-\cfrac{1}{5})^{3-0}=\cfrac{64}{125}\)，
\(P(X=1)=C_3^1\cdot (\cfrac{1}{5})^1(1-\cfrac{1}{5})^{3-1}=\cfrac{48}{125}\)，
\(P(X=2)=C_3^2\cdot (\cfrac{1}{5})^2(1-\cfrac{1}{5})^{3-2}=\cfrac{12}{125}\)，
\(P(X=3)=C_3^3\cdot (\cfrac{1}{5})^3(1-\cfrac{1}{5})^{3-3}=\cfrac{1}{125}\)，
分布列略，数学期望为\(EX=3\times \cfrac{1}{5}=\cfrac{3}{5}\)
方差为\(DX=3\times \cfrac{1}{5}\times (1-\cfrac{1}{5})=\cfrac{12}{25}\)
解后反思：
1、求复杂事件的概率，需要将复杂事件分化为几个简单的事件，且必须弄清楚个事件之间的关系，这会决定后续的计算是用加法还是乘法。
2、\(n\)次独立重复实验中，离散型随机变量\(X\sim B(n，p)\)，则\(EX=np\)，\(DX=np(1-p)\)。
连续型随机变量
考查连续型随机变量的概率，简单的正态分布知识
高阶综合
| \(\bar{x}\) | \(\bar{y}\) | \(\bar{w}\) | \(\sum\limits_{i=1}^{8}{(x_i-\bar{x})^2}\) | \(\sum\limits_{i=1}^{8}{(w_i-\bar{w})^2}\) | \(\sum\limits_{i=1}^{8}{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}\) | \(\sum\limits_{i=1}^{8}{(w_i-\bar{w})(y_i-\bar{y})}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(46.6\) | \(563\) | \(6.8\) | \(289.8\) | \(1.6\) | \(1469\) | \(108.8\) |
表中\(w_i=\sqrt{x_i}\)，\(\bar{w}=\cfrac{1}{8}\sum\limits_{i=1}^{8}{w_i}\)，
附：对于一组数据\((u_1，v_1)\)，\((u_2，v_2)\)，\(\cdots\)，\((u_n，v_n)\)，其回归直线\(v=\alpha+\beta u\)的斜率和截距的最小二乘估计分别为\(\hat{\beta}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{8}{(u_i-\bar{u})(v_i-\bar{v})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{(u_i-\bar{u})^2}}\)，\(\hat{\alpha}=\bar{v}-\hat{\beta}\bar{u}\)，
（Ⅰ）根据散点图判断，\(y=a+bx\)与\(y=c+d\sqrt{x}\)哪一个适宜作为年销售量\(y\)关于年宣传费\(x\)的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
分析：由散点图可以分析，\(y=c+d\sqrt{x}\)更适宜作为年销售量\(y\)关于年宣传费\(x\)的回归方程类型，图中的变量呈现曲线回归。
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立\(y\)关于\(x\)的回归方程；
分析：令\(w=\sqrt{x}\)，先建立\(y\)关于\(w\)的线性回归方程，
由于\(\hat{d}=\cfrac{108.8}{1.6}=68\)，
则\(\hat{c}=\bar{y}-\hat{d}\bar{w}=563-68\times 6.8=100.6\)，
所以\(y\)关于\(w\)的线性回归方程为\(\hat{y}=100.6+68w\)，
即\(y\)关于\(x\)的线性回归方程为\(\hat{y}=100.6+68\sqrt{x}\).
（Ⅲ）已知这种产品的年利润\(z\)与\(x\)、\(y\)的关系为\(z=0.2y-x\)，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费\(x=49\)时，年销售量及年利润的预报值是多少？
分析：由（Ⅱ）知，年宣传费\(x=49\)时，年销售量的预报值\(\hat{y}=100.6+68\sqrt{49}=576.6\)，
年利润\(z\)的预报值\(\hat{z}=0.2\times 576.6-49=66.32\)。
（ii）年宣传费\(x\)为何值时，年利润的预报值最大？
分析：由（Ⅱ）知，年利润\(z\)的预报值\(\hat{z}=0.2\times (100.6+68\sqrt{x})-x\)
\(=-x+13.6\sqrt{x}+20.12=-[(\sqrt{x})^2-13.6\sqrt{x}]+20.12\)
当\(\sqrt{x}=\cfrac{13.6}{2}=6.8\)时，即当\(x=46.24\)时年利润的预报值最大。
（1）假设生产状态正常，记\(X\)表示一天内抽取的\(16\)个零件中其尺寸在\((\mu-3\sigma，\mu+3\sigma)\)之外的零件数，求\(P(X≥1)\)及\(X\)的数学期望；
分析：由题可知，尺寸落在\((\mu-3\sigma，\mu+3\sigma)\)之内的概率为\(0.9974\)，
则尺寸落在\((\mu-3\sigma，\mu+3\sigma)\)之外的概率为\(1-0.9974=0.0026\)，
因为\(P(X=0)=C_{16}^0\times (1-0.9974)^0\times 0.9974^{16}=0.9592\)，
所以\(P(X\ge 1)=1-P(X=0)=0.0408\)。
又由于\(X\sim B(16，0.0026)\)，故\(E(X)=16\times 0.0026=0.0416\)。
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在\((\mu-3\sigma，\mu+3\sigma)\)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
分析：如果生产状态正常，一个零件尺寸在\((\mu-3\sigma，\mu+3\sigma)\)之外的概率只有\(0.0026\)，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在\((\mu-3\sigma，\mu+3\sigma)\)之
外的零件的概率只有\(0.0408\)，发生的概率很小。因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
| 抽取次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 零件尺寸 | 09.95 | 10.12 | 09.96 | 09.96 | 10.01 | 09.92 | 09.98 | 10.04 |
| 抽取次序 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 零件尺寸 | 10.26 | 09.91 | 10.13 | 10.02 | 09.22 | 10.04 | 10.05 | 09.95 |
经计算得\(\bar{x}=\cfrac{1}{16}\cdot\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i}=9.97\) ，\(s=\sqrt{\cfrac{1}{16}\cdot\sum\limits_{i=1}^{16}{(x_i-\bar{x})^2}}=\sqrt{\cfrac{1}{16}(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i^2-16\bar{x}^2})}\approx 0.212\)，
\(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{16}{(i-8.5)^2}}\approx 18.439\)，\(\sum\limits_{i=1}^{16}{(x_i-\bar{x})(i-8.5)}=-2.78\)，其中\(x_i\)为抽取的第\(i\)个零件的尺寸，\(i=1，2，\cdots，16\) ．
用样本平均数\(\bar{x}\)作为\(\mu\)的估计值\(\hat{\mu}\)，用样本标准差\(s\)作为\(\sigma\)的估计值\(\hat{\sigma}\)，用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除\((\mu-3\sigma，\mu+3\sigma)\)之外的数据，用剩下的数据估计\(\mu\)和\(\sigma\)(精确到0.01)．
附：若随机变量\(Z\)服从正态分布\(N(\mu，\sigma^2)\)，则\(P(\mu-3\sigma<Z<\mu+3\sigma)=0.9974\)，\(0.9974^{16}≈0.9592\)，\(\sqrt{0.008}≈0.09\)．
分析：由\(\bar{x}=9.97\)，\(s\approx 0.212\)，得到\(\mu\)的估计值\(\hat{\mu}=9.97\)，\(\sigma\)的估计值\(\hat{\sigma}= 0.212\)，
由样本数据可以看出，有一个零件的尺寸在\((\mu-3\sigma，\mu+3\sigma)\)之外，因此需对当天的生产过程进行检查。
剔除\((\mu-3\sigma，\mu+3\sigma)\)之外的数据\(9.22\)，剩下数据的平均值为\(\cfrac{16\times 9.97-9.22}{15}=10.02\)，
因此\(\mu\)的估计值\(\hat{\mu}=10.02\)。
由于\(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i^2}=16\times 0.212^2+16\times 9.97^2\)，剔除数据\(9.22\)后剩下的数据，
故\(\sum\limits_{i=1}^{15}{x_i^2}=16\times 0.212^2+16\times 9.97^2-9.22^2=1506.125\)，
则\(\sum\limits_{i=1}^{15}{x_i^2}-15\times\bar{x}_{15}^2=1506.125-15\times10.02^2=0.119104\)；
故剩余数据的样本方程为\(\cfrac{1}{15}(\sum\limits_{i=1}^{15}{x_i^2}-15\times\bar{x}_{15}^2)\approx 0.008\)，
故所求的\(\sigma\)的估计值为\(\hat{\sigma}=\sqrt{0.008}\approx 0.09\)，
即剩下15个数据的平均数的估计值\(\hat{\mu}=10.02\)，标准差的估计值\(\hat{\sigma}=0.09\)。
