用导函数的图像判断原函数的单调性

前言

用导函数的图像判断原函数的单调性，其本质就是利用\(f'(x)\)的正负，判断\(f(x)\)的增减； 回顾：符号法则

典例剖析

• 给定\(f'(x)\)的图像，确定\(f(x)\)的单调性，最简单层次

如图是函数\(y=f(x)\)的导函数\(y=f^{\prime}(x)\)的图像，则下面判断正确的是【 \(\quad\)】

$A.$在区间$(一2,1)$上$f(x)$是增函数;

$B.$在区间$(1,3)$上$f(x)$是减函数;

$C.$在区间$(4,5)$上$f(x)$是增函数;

$D.$当$x=2$时，$f(x)$取到极小值

分析：本题目考查对导函数的图像的解读能力，和应用图像的意识；

由于在\((4,5)\)上，有\(f^{\prime}(x)>0\)恒成立，故\(f(x)\)是增函数，故选\(C\).

• 用图像确定\(f'(x)\)的正负，确定\(f(x)\)的单调性，

【2017聊城模拟】已知函数\(y=xf'(x)\)的图像如图所示(其中\(f'(x)\)是函数\(f(x)\)的导函数)，则下面四个图像中，\(y=f(x)\)的图像大致是【】

分析：由图可知，

当\(x<-1\)时，\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；

当\(-1<x<0\)时，\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；

当\(0<x<1\)时，\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；

当\(x>1\)时，\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；

从而可知当\(x<-1\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；

当\(-1<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\searrow\)；

当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；故选C。

【2017\(\cdot\)滨州模拟】设R上的可导函数\(f(x)\)的导函数为\(f'(x)\)，且函数\(y=(1-x)f'(x)\)的图像如图所示，则下列结论一定成立的是【】

$A.$函数$f(x)$有极大值$f(2)$和极小值$f(1)$

$B.$函数$f(x)$有极大值$f(-2)$和极小值$f(1)$

$C.$函数$f(x)$有极大值$f(2)$和极小值$f(-2)$

$D.$函数$f(x)$有极大值$f(-2)$和极小值$f(2)$

分析：当\(x<-2\)时，则有\(1-x>0\)，又\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；

当\(-2<x<1\)时，则有\(1-x>0\)，又\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；

当\(1<x<2\)时，则有\(1-x<0\)，又\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；

当\(x>2\)时，则有\(1-x<0\)，又\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；

从而可知当\(x<-2\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；

当\(-2<x<2\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\searrow\)；

当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；故选\(D\)。

*解不等式确定\(f^{\prime}(x)\)的正负，确定\(f(x)\)的单调性，

【2017•合肥模拟】定义在\(R\)上的可导函数\(f(x)\)的导函数为\(f^{\prime}(x)\)，已知函数\(y=2^{f^{\prime}(x)}\)的图像如图所示，则函数\(y=f(x)\)的单调递减区间为【 】

$A.(1，+\infty)$ $B.(1，2)$ $C.(-\infty，2)$ $D.(2，+\infty)$

分析：结合图像可知，

当\(x\in(-\infty，2]\)时，\(2^{f^{\prime}(x)}≥1\)， 即\(f^{\prime}(x)≥0\)；当\(x\in (2,+\infty)\)时， \(2^{f^{\prime}(x)}<1\)， 即\(f^{\prime}(x)<0\)；

故函数\(y=f(x)\)的递减区间为\((2,+\infty)\)。故选\(D\)。

(用不等式确定\(f^{\prime}(x)\)的正负，确定\(f(x)\)的单调性)(2017•合肥模拟)

1、给定函数\(y=(x^2-3x+2)\cdot f'(x)\)的图像，先推断\(f'(x)\)的正负，再确定\(f(x)\)的单调性；

2、已知\((x^2-3x+2)\cdot f'(x)>0\)，判断\(f(x)\)的单调性；

已知函数 \(y=f(x)\) 的图像是下列四个图像之一，且其导函数 \(y=f^{\prime}(x)\) 的图像如图所示，则该函数的图像是【\(\quad\)】

分析：由 \(y=f^{\prime}(x)\) 的图像是先上升后下降可知，函数 \(y=f(x)\)图像的切线的斜率先增大后减小，故选\(B\).

函数 \(y=f(x)\) 的图象如图所示，则 \(y=f^{\prime}(x)\) 的图象可能是【\(\quad\)】

分析：由函数 \(f(x)\) 的图象可知， \(f(x)\) 在\((-\infty, 0)\)上单调递增， \(f(x)\) 在\((0,+\infty)\)上单调递减，

所以在区间\((-\infty, 0)\)上\(f'(x)>0\)， 在\((0,+\infty)\)上\(f'(x)<0\)，只有选项\(D\)满足；故选\(D\).

【2019深圳中学阶段性测试】函数 \(f(x)=x-2\sin x,\) 对任意的 \(x_{1}\)，\(x_{2}\in[0，\pi]\)，恒有\(|f(x_{1})\)\(-\)\(f(x_{2})\)\(|\)\(\leqslant\)\(M\)，则\(M\)的最小值为_____________。

解析: 因为 \(f(x)=x-2\sin x,\) 所以\(f^{\prime}(x)=1-2\cos x\)

所以当\(0<x<\frac{\pi}{3}\)时， \(f'(x)<0\)， \(f(x)\)单调递减；当\(\cfrac{\pi}{3}<x<\pi\)时， \(f^{\prime}(x)>0\)，\(f(x)\)单调道增；

所以当 \(x=\cfrac{\pi}{3}\)时， \(f(x)\)有极小值，即最小值,

且 \(f(x)_{\min }=f(\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{\pi}{3}-2\sin\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\pi}{3}-\sqrt{3}\)

又 \(f(0)=0\)，\(f(\pi)=\pi\)，所以 \(f(x)_{\max }=\pi\)，

由题意得\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant M\)等价于

\(M\geqslant|f(x)_{\max}-f(x)_{\min}|=\pi-(\cfrac{\pi}{3}-\sqrt{3})=\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\)，

所以\(M\) 的最小值为 \(\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\)， 故填写\(\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\)。