新定义习题 01

前言

新定义习题，是高考命题人中的大学老师的最爱，能检测学生迅速理解数学概念的素养，几乎是高考必考的小题之一，她往往从大学数学中拿出个小概念，稍加改动就能用来考查学生了。也是学生感觉头疼的一类题目。

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

命题方向

(1). 函数类新定义，主要包括两类：

① 概念型的新定义函数问题，主要以“新概念函数”为载体，利用新定义运算法则、新定义对应法则、新定义某种性质等方式给出“新概念函数”，此类新定义侧重函数的定义域与值域以及最值等有关的考查．

② 性质型新定义函数多以函数的单调性、奇偶性、对称性、最值等作为命题的背景．

(2). 其他类型

比如数论知识等。

典例剖析

【2019届高三理科数学课时作业】设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在非零常数\(T\)，对于任意\(x\in D\)，都有\(f(x+T)=T\cdot f(x)\)，则称函数\(y=f(x)\)为“似周期函数”，非零常数\(T\)为函数\(y=f(x)\)的“似周期”。以下四个关于“似周期函数”的命题那些是真命题？①③④

①如果“似周期函数”的\(T=1\)，那么它是周期为2的周期函数；

②函数\(f(x)=x\)是“似周期函数”；

③函数\(f(x)=2^{-x}\)是“似周期函数”；

④如果函数\(f(x)=cos\omega x\)是“似周期函数”，那么\(\omega=k\pi，k\in Z\).

分析：对于①，满足\(f(x-1)=-f(x)\)，则可知\(f(x)\)是周期函数，且周期\(T=2\)；故①是真命题；

对于②，\(f(x+T)=x+T，T\cdot f(x)=Tx\)，若是“似周期函数”，则必须满足\(x+T=Tx\)对任意的\(x\in R\)要恒成立，显然不存在这样的非零常数\(T\)，故②是假命题；

对于③，\(f(x+T)=(\cfrac{1}{2})^{x+T}\)，\(T\cdot f(x)=T\cdot(\cfrac{1}{2})^x\)，若是“似周期函数”，则必须满足\((\cfrac{1}{2})^{x+T}=T\cdot(\cfrac{1}{2})^x\)对任意的\(x\in R\)要恒成立，只要存在非零实数\(T\)，使得\((\cfrac{1}{2})^T=T\)成立就行，显然存在这样的非零常数\(T\)，故③是真命题；

对于④，\(f(x+T)=cos(\omega(x+T))\)，\(T\cdot f(x)=T\cdot cos\omega x\)，若是“似周期函数”，则必须满足\(cos(\omega x+\omega T)\)\(=\)\(T\cdot cos\omega x\)，对任意的\(x\in R\)要恒成立，故存在非零实数\(T=\pm 1\)，\(\omega\)\(=\)\(k\pi，k\in Z\)，故④是真命题；详细讲述：当\(k\)为偶数时，取\(T=1\)，成立；当\(k\)为奇数时，取\(T=-1\)，成立；课件地址

【2019届高三理科数学课时作业】把二进制数\(10111_{(2)}\)转化为十进制数为________.

分析：十进制数\(10111_{(10)}=1\times 10^4+0\times 10^3+1\times 10^2+1\times 10^1+1\times 10^0=10111_{(10)}\)

二进制数转化为十进制数，我们只要依次累加各位数位上的数字\(\times\)该数位的权重即可得到结果。

比如\(10111_{(2)}=1\times 2^4+0\times 2^3+1\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0=23_{(10)}\)，

则二进制数\(1111_{(2)}=1\times 2^3+1\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0=15_{(10)}\)，

补充题目：下图是一个将二进制数\(1111_{(2)}\)转化为十进制数的程序框图，

\(i=1\)，\(S=1+2\times1=1\times2^1+1=3\)；

\(i=2\)，\(S=1+2(1+2\times1)=1\times2^2+1\times2^1+1=7\)；

\(i=3\)，\(S=1+2(1+2(1+2\times1))=1\times2^3+1\times2^2+1\times2^1+1=15\)；

将十进制数23转化为二进制数。

分析：用短除法，除2取余数，倒过来读余数即可，比如\(23=2\times 11+1\)；\(11=2\times 5+1\)；\(5=2\times 2+1\)；\(2=2\times 1+0\)；\(1=2\times 0+1\)；

将每次的余数倒过来读数就得到\(23_{(10)}=10111_{(2)}\)；

把七进制数\(1325_{(7)}\)转化为十进制数为________.

分析：\(1325_{(7)}=1\times7^3+3\times7^2+2\times7^1+5\times7^0=509_{(10)}\)；

• 将十进制数509转化为七进制数。

分析：用短除法，除7取余数，倒过来读余数即可，比如\(509=7\times 72+5\)；\(72=7\times 10+2\)；\(10=7\times 1+3\)；\(1=7\times 0+1\)；

将每次的余数倒过来读数就得到\(509_{(10)}=1325_{(7)}\)；

【2019届高三理科数学课时作业】若对于定义在\(R\)上的函数\(f(x)\),其图像是连续不断的，且存在常数\(\lambda\)\((\lambda\)\(\in R)\)，使得\(f(x+\lambda)+\lambda f(x)=0\)对任意实数\(x\)都成立，则称\(f(x)\)是一个“\(\lambda—\)伴随函数”，有下列关于“\(\lambda—\)伴随函数”的结论：

①\(f(x)=0\)是常数函数中唯一一个“\(\lambda—\)伴随函数”；

②\(f(x)=x\)不是“\(\lambda—\)伴随函数”；

③\(f(x)=x^2\)是“\(\lambda—\)伴随函数”；

④“\(\cfrac{1}{2}—\)伴随函数”至少有一个零点。

其中不正确的序号是：①③.

分析：①设\(f(x)=c(c\neq 0，c为常数)\)，则由新定义可知\(c+\lambda c=0\)当\(\lambda=-1\)时，对任意实数\(x\)都成立，故常函数\(f(x)=c(c\neq 0，c为常数)\)就是“\(\lambda—\)伴随函数”，当然函数\(f(x)=0\)也是“\(\lambda—\)伴随函数”，故①错误；

②即要满足\(x+\lambda+\lambda x=0\)对任意实数\(x\)都成立，当\(\lambda=-1\)时，并不能使得此式对对任意实数\(x\)都成立，故\(f(x)=x\)不是“\(\lambda—\)伴随函数”，故②正确；

③即要满足\((x+\lambda)^2+\lambda x^2=0\)对任意实数\(x\)都成立，即\((1+\lambda)x^2+2\lambda x+(\lambda)^2=0\)要对任意实数\(x\)都成立，此处最多有两个实数满足，对任意实数显然不成立，故③错；

④由题目知，\(f(x+\cfrac{1}{2})+\cfrac{1}{2}f(x)=0\)对任意实数\(x\)恒成立，令\(x=-\cfrac{1}{4}\)，则\(f(\cfrac{1}{4})+\cfrac{1}{2}f(-\cfrac{1}{4})=0\)，此时若\(f(\cfrac{1}{4})、f(-\cfrac{1}{4})\)都为零，则满足题意；若二者都不为零，则\(f(\cfrac{1}{4})、f(-\cfrac{1}{4})\)必然符号相反，在区间\((-\cfrac{1}{4},\cfrac{1}{4})\)上至少有一个零点，故④正确。

【2019届高三理科数学课时作业】具有性质：\(f(\cfrac{1}{x})=-f(x)\)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①\(f(x)=x-\cfrac{1}{x}\)；②\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\)；③\(f(x)=\begin{cases}x,&0<x<1\\0,&x=1\\-\frac{1}{x},&x>1\end{cases}\)，

其中满足“倒负”变换的函数是哪些？

分析：①对于\(f(x)=x-\cfrac{1}{x}\)而言，\(f(\cfrac{1}{x})=\cfrac{1}{x}-x=-f(x)\)，故满足题意，

②对于\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\)而言，\(f(\cfrac{1}{x})=\cfrac{1}{x}+x=f(x)\)，故不满足题意，

③对于分段函数\(f(x)=\begin{cases}x，&0<x<1\\0，&x=1\\-\cfrac{1}{x}，&x>1\end{cases}\)而言，需要分段处理。

当\(0<x<1\)时，\(f(x)=x,f(\cfrac{1}{x})=-\cfrac{1}{\cfrac{1}{x}}=-x\)，则有\(f(\cfrac{1}{x})=-f(x)\)；

当\(x=1\)时，\(f(x)=0,f(\cfrac{1}{x})=0\),则也有\(f(\cfrac{1}{x})=-f(x)\)；

当\(x>1\)时，\(f(x)=-\cfrac{1}{x},f(\cfrac{1}{x})=\cfrac{1}{x}\)，则也有\(f(\cfrac{1}{x})=-f(x)\)；

综上当\(x>0\)时，都有\(f(\cfrac{1}{x})=-f(x)\)；故函数满足“倒负”变换。

因此，本题中满足“倒负”变换的函数有①③。

【2017年宝鸡中学第一次月考】若函数\(f(x)\)满足：“对于区间\((1,2)\)上的任意实数\(x_1，x_2(x_1\neq x_2)\)，\(|f(x_2-x_1)|\)\(<\)\(|x_2-x_1|\) 恒成立”，就称函数 \(f(x)\) 为完美函数，给出下列四个函数，其中是完美函数的是【\(\qquad\)】

① \(f(x)=\cfrac{1}{x}\)；② \(f(x)=|x|\)；③ \(f(x)=x^2-3x\)；④\(f(x)=2^x\)；

法1：利用定义求解，从数的角度

对①而言，\(|f(x_2)-f(x_1)|=|\cfrac{1}{x_2}-\cfrac{1}{x_1}|=|\cfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}|<|x_2-x_1|\)，故①是完美函数；

对②而言，\(|f(x_2)-f(x_1)|=||x_2||-|x_1||=|x_2-x_1|<|x_2-x_1|\)不成立，故②不是完美函数；

对③而言，\(|f(x_2)-f(x_1)|\)\(=\)\(|(x_2)^2-3x_2-(x_1)^2+3x_1|\)\(=\)\(|(x_2-x_1)\cdot(x_2+x_1)-3(x_2-x_1)|\)\(=\)\(|x_1+x_2-3|\cdot|x_2-x_1|\)\(<\)\(|x_2-x_1|\)，其中\(|x_1+x_2-3|<1\)；故③是完美函数；

对④而言，\(|f(x_2)-f(x_1)|\)\(=\)\(|2^{x_2}-2^{x_1}|\)，不妨设\(x_1<x_2\)，令\(g(x)=2^x-x\)，则\(g'(x)=2^xln2-1>0\)，由于\(g'(x)_{min}\)\(=\)\(g'(1)\)\(=\)\(2ln2-1\)\(=\)\(ln4-1>0\)，则函数\(g(x)\)在\((1，2)\)上单调递增，故有\(2^{x_2}-x_2\) \(>\) \(2^{x_1}-x_1\)，即\(2^{x_2}-2^{x_1}\) \(>\) \(x_2-x_1\)，即\(|2^{x_2}-2^{x_1}|\) \(>\) \(|x_2-x_1|\)，故④不是完美函数。

法2：利用导数的几何意义，从形上入手。由于\(|f(x_2)-f(x_1)|\)\(<\)\(|x_2-x_1|\)恒成立，即\(|\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}|\)\(<\)\(1\)，由于割线的斜率的极限是切线的斜率，故我们只有求解给定函数的导数的最大值或者最小值的绝对值小于1即可，

对①而言，由于\(f'(x)=-\cfrac{1}{x^2}\)，故\(|f'(x)|<1\)，故①是完美函数；

对②而言，由于\(f'(x)=1\)，不满足\(|f'(x)|<1\)，故②不是完美函数；

对③而言，由于\(f'(x)=2x-3\)，\(|f'(x)|<1\)，故③是完美函数；

对④而言，由于\(f'(x)=2^xln2\)，故不满足\(|f'(x)|<1\)，故④不是完美函数；

定义新运算"⊕"，当\(a\ge b\)时，\(a⊕b=a\)；当\(a<b\)时，\(a⊕b=b^2\)；则函数\(f(x)\)\(=(1⊕x)x\)\(-(2⊕x)\)，\(x\in[-2，2]\)的最大值是多少？

分析：由题目知道\(a⊕b=\begin{cases}a,&a\ge b\\b^2,&a<b \end{cases}\)，由此知道\(1⊕x=\begin{cases}1,&1\ge x\\x^2,&1<x \end{cases}\)，又由于\(x\in[-2，2]\)

故得到\(1⊕x=\begin{cases}1,&-2\leq x\leq 1\\x^2,&1<x\leq 2 \end{cases}\)，同理，\(2⊕x=\begin{cases}2,&2\ge x\\x^2,&2<x \end{cases}\)，又由于\(x\in[-2，2]\)，故\(2⊕x=2,x\in [-2,2]\)，

故\(f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x)=\begin{cases}1\cdot x-2&-2\leq x\leq 1\\x^2\cdot x-2&1<x\leq 2 \end{cases}=\begin{cases}x-2&-2\leq x\leq 1\\x^3-2&1<x\leq 2 \end{cases}\)，

从而利用分段函数求得\(f(x)_{max}=6\)。

【2017\(\cdot\)华南师大调研】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数\(f(x)=\begin{cases}1，x\in Q\\0，x\in C_RQ\end{cases}\)称为狄利克雷函数，关于函数\(f(x)\)有以下的四个命题，哪些是真命题？

①\(f(f(x))=1\)；

②函数\(f(x)\)是偶函数；

③任意一个非零有理数\(T\)，对\(\forall x\in R\)都有\(f(x+T)=f(x)\)恒成立；

④存在三个点\(A(x_1，f(x_1))\)，\(B(x_2，f(x_2))\)，\(C(x_3，f(x_3))\)，使得\(\Delta ABC\)为等边三角形。

分析：由于狄利克雷函数是个分段函数，所以凡是涉及求值的问题，一般都得分类讨论。

①当\(x\in Q\)时，\(f(x)=1\)，则\(f(f(x))=f(1)=1\)；

当\(x\in C_RQ\)时，\(f(x)=0\)，则\(f(f(x))=f(0)=1\)；故真命题。

②当\(x\in Q\)时，则\(-x\in Q\)时，\(f(-x)=1\)，则\(f(x)=1\)，有\(f(-x)=f(x)\)成立；

当\(x\in C_RQ\)时，则\(-x\in C_RQ\)时，\(f(-x)=0\)，则\(f(x)=0\)，有\(f(-x)=f(x)\)成立；

故\(f(-x)=f(x)\)恒成立，是偶函数，真命题。

③当\(x\in Q\)时，对任意一个非零有理数\(T\)，都有\(x+T\in Q\)时，\(f(x+T)=1\)，\(f(x)=1\)，有\(f(x+T)=f(x)\)成立；

当\(x\in C_RQ\)时，对任意一个非零有理数\(T\)，都有\(x+T\in C_RQ\)时，\(f(x+T)=0\)，\(f(x)=0\)，有\(f(x+T)=f(x)\)成立；真命题；

④如图所示，取\(A(2-\sqrt{a}，0)\)，\(B(2+\sqrt{a}，0)\)，\(C(2，1)\)，则此时\(\Delta ABC\)只是等腰三角形，

但是当点\(A、B\)都向其中点聚拢时，由实数的无限稠密性，总有一个恰当的\(a\)值，

使得\(\Delta ABC\)为等边三角形。真命题；

或这样求解，点\(A(-\cfrac{\sqrt{3}}{3}，0)\)，点\(B(\cfrac{\sqrt{3}}{3}，0)\)，点\(C(0，1)\)，

计算可知，\(\Delta ABC\)为边长为\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)的等边三角形，真命题。

若函数\(f(x)\)对其定义域内的任意\(x_1，x_2\)，当\(f(x_1)=f(x_2)\)时总有\(x_1=x_2\)，则称\(f(x)\)为紧密函数，例如函数\(f(x)=lnx(x＞0)\)是紧密函数，下列命题：

①紧密函数必是单调函数；②函数\(f(x)=\cfrac{x^2+2x+a}{x}(x＞0)\)在\(a＜0\)时是紧密函数；

③函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{log_2x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}\right.\)是紧密函数；

④若函数\(f(x)\)为定义域内的紧密函数，\(x_1≠x_2\)，则\(f（x_1）≠f（x_2）\)；

⑤若函数\(f(x)\)是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数\(f′(x)\)在定义域内的值一定不为零．

其中的真命题是【\(\qquad\)】

$A.②④$ $B.①②$ $C.②④⑤$ $D.①②③⑤$

解：对于选项①而言，由于函数\(f(x)\)对其定义域内的任意\(x_1，x_2\)，当\(f(x_1)=f(x_2)\)时总有\(x_1=x_2\)，则称\(f(x)\)为紧密函数，

则紧密函数\(f(x)\)的自变量与函数值是一 一映射，故单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调的，比如函数\(y=\frac{1}{x}\)，是按照定义判断是紧密函数，但是其不是单调函数，故①错误；

对于选项②而言，函数\(f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}（x>0）\)在\(a<0\)时是单调递增函数，故一定是紧密函数，故②正确；

对于选项③而言，函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{log3x，x≥2}\\{2-x，x<2}\end{array}\right.\)不是一 一映射，故不是紧密函数，故③错误；

对于选项④而言，若函数\(f(x)\)为定义域内的紧密函数，由一一映射可知，若\(x_1≠x_2\)，则\(f(x_1)≠f(x_2)\)，故④正确；

对于选项⑤而言，函数\(f(x)=x^3\)是紧密函数且在定义域内存在导数，但是其导函数\(f′(x)=3x^2\)在定义域内的\(x=0\)处的值为零，故⑤错误；

综上所述，真命题为②④，故选选项A。

【解后反思】新定义习题，是最能考查学生的数学素养的一类素材，对许多学生都有一定的难度。在学习是，对于学习过的一些简单而又特殊的函数，我们需要特别加以关注，如函数\(y=|x|\)，在\(x=0\)处无导数，但是在\(x=0\)处却是有极值的；函数\(y=\frac{1}{x}\)，在定义域内无单调性，函数\(y=x^3\)在定义域内单调递增，其导函数\(y'=3x^2\ge 0\)，等等，都是需要我们注意的，这对于深入理解数学概念，廓清我们的混沌认识很有帮助。

已知定义域为\([0，1]\)的函数\(f（x）\)同时满足以下三个条件：

①对任意的\(x∈[0，1]\)，总有\(f（x）≥0\)；

②\(f（1）=1\)；

③若\(x_1≥0\)，\(x_2≥0\)且\(x_1+x_2≤1\)，则有\(f(x_1+x_2)≥f(x_1)+f(x_2)\)成立，则称\(f(x)\)为“友谊函数”．

（1）若已知\(f(x)\)为“友谊函数”，求\(f(0)\)的值．

（2）分别判断函数\(g(x)=x^2\)与\(h(x)=3x+1\)在区间\([0，1]\)上是否为“友谊函数”，并给出理由．

（3）已知\(f(x)\)为“友谊函数”，且\(0≤x_1＜x_2≤1\)，求证：\(f(x_1)≤f(x_2)\)．

解：（1）已知\(f(x)\)为“友谊函数”，则当\(x_1\ge 0，x_2\ge 0\)且\(x_1+x_2\leq 1\)，有\(f(x_1+x_2)≥f(x_1)+f(x_2)\)成立，

令\(x_1=0，x_2=0\)，则有\(f(0+0)\ge f(0)+f(0)\)，解得\(f(0)\leq 0\)，

又对任意的\(x∈[0，1]\)，总有\(f（x）≥0\)，则有\(f(0)\ge 0\)，

由\(f(0)\ge 0\)且\(f(0)\leq 0\)，得到\(f(0)=0\).

（2）对函数\(g(x)=x^2\)而言，在\([0，1]\)上显然满足①\(g(x)\ge 0\)，②\(g(1)=1\)，重点是验证③，

若\(x_1≥0\)，\(x_2≥0\)且\(x_1+x_2≤1\)，则有\(g(x_1+x_2)-[g(x_1)+g(x_2)]=(x_1+x_2)^2-x_1^2-x_2^2=2x_1x_2\ge0\)

即\(g(x_1+x_2)\ge g(x_1)+g(x_2)\)，故函数\(g(x)\)满足条件③；

这样函数\(g(x)\)同时满足条件①②③，故\(g(x)=x^2\)为友谊函数。

对函数\(h(x)=3x+1\)而言，在\([0，1]\)上显然满足①\(g(x)\ge 0\)，

但是当\(x=1\)时，\(h(1)=4\)，不满足定义中的②，故函数\(h(x)=3x+1\)不是友谊函数。

（3）证明：由于\(0≤x_1＜x_2≤1\)，则有\(0<x_2-x_1<1\)，

又由于函数\(f（x）\)为“友谊函数”，则$f(x_2-x_1)\ge 0 $

则\(f(x_2)=f(x_2-x_1+x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1] \ge f(x_1)\)，

即\(f(x_1)\leq f(x_2)\)。

【2019届高三理科数学函数及其表示课时作业第8题】 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”。则函数解析式为\(y=x^2+1\)，值域为\(\{1，3\}\)的同族函数有_____个。

分析：本题目实质是考查有几种不同的满足题意定义域形式，

令\(x^2+1=1\)，解得\(x=0\)；令\(x^2+1=3\)，解得\(x=\pm \sqrt{2}\)；

要保证值域为\(\{1，3\}\)，则\(0\)是必选的，\(\pm \sqrt{2}\)可以二选一，或者全选，

故不同的定义域形式有\(\{0，\sqrt{2}\}\)，\(\{0，-\sqrt{2}\}\)，\(\{0，\pm\sqrt{2}\}\)三种，

故函数解析式为\(y=x^2+1\)，值域为\(\{1，3\}\)的同族函数有\(3\)个。

已知集合 \(A\)，当 \(a\in A\) 时，\(\cfrac{1+a}{1-a}\in A\)，则集合 \(A\) 中所有元素的乘积为 【\(\qquad\)】

$A.-1$ $B.1$ $C.0$ $D.\pm1$

解析：由于 当 \(a\in A\) 时， 则 \(\cfrac{1+a}{1-a}\in A\)，按照这样的定义规则来理解，

那么由于 \(\cfrac{1+a}{1-a}\in A\)，则 \(\cfrac{1+\frac{1+a}{1-a}}{1-\frac{1+a}{1-a}}\in A\)，化简整理即 \(-\cfrac{1}{a}\in A\)；

同理，由于 \(-\cfrac{1}{a}\in A\)，则 \(\cfrac{1+(-\frac{1}{a})}{1-(-\frac{1}{a})}\in A\)，化简整理即 \(\cfrac{a-1}{a+1}\in A\)；

同理，由于 \(\cfrac{a-1}{a+1}\in A\)，则 \(\cfrac{1+\frac{a-1}{a+1}}{1-\frac{a-1}{a+1}}\in A\)，化简整理即 \(a\in A\)；

以下如果再迭代，就会进入循环，故 \(A=\{a，\cfrac{1+a}{1-a}，-\cfrac{1}{a}，\cfrac{a-1}{a+1}\}\)

则 \(a\times\cfrac{1+a}{1-a}\times(-\cfrac{1}{a})\times\cfrac{a-1}{a+1}=1\)，故选 \(B\) .

【2019届高三理科数学资料题目】对于函数\(f(x)\)，若存在区间\(A＝[m，n]\)，使得\(\{y\mid y＝f(x)，x∈A\}＝A\)，则称函数\(f(x)\)为“同域函数”，区间\(A\)为函数\(f(x)\)的一个“同域区间”．

给出下列四个函数：

①\(f(x)＝cos\cfrac{\pi}{2}x\)；②\(f(x)＝x^2-1\)；③\(f(x)＝|x^2－1|\)；④\(f(x)＝log_2(x－1)\)；

存在“同域区间”的“同域函数”的是________．(请写出所有正确的序号)

分析：区间\(A\)不一定是定义域或值域，但一定是定义域的子集。

故我们可以借助图像来解答此问题，如下图所示：

①中，取\(A=[0，1]\)，则\(x\in [0，1]\)，\(f(x)\in [0，1]\)，故是同域函数；

②中，取\(A=[-1，0]\)，则\(x\in [-1，0]\)，\(f(x)\in [-1，0]\)，故是同域函数；

③中，取\(A=[0，1]\)，则\(x\in [0，1]\)，\(f(x)\in [0，1]\)，故是同域函数；

④中不存在这样的区间\(A\)，故不是同域函数；

下面加以证明，对④而言，设存在这样的区间\(A=[m，n]\)，由于\(f(x)＝log_2(x－1)\)，

定义域为\((1，+\infty)\)，且单调递增，

故有\(f(m)=m\)，且有\(f(n)=n\)，

即\(log_2(m-1)=m\)，且\(log_2(n-1)=n\)，

即\(\left\{\begin{array}{l}{2^m=m-1}\\{2^n=n-1}\end{array}\right.\)，

若该方程组有解，则方程\(2^x=x-1\)应该有两个不同的实数解，

分别做出函数\(y=2^x\)和函数\(y=x-1\)的图像，显然两个图像没有公共点，

故不存在这样的区间\(A\)，满足题意。

故满足题意的有①②③；

【2019高三理科数学第二次月考跟踪训练第12题】【2018南昌检测】若函数\(f(x)\)满足\(f(a+x)+f(a-x)=2b\)，其中\(a，b\)不同时为零，则称函数\(y=f(x)\)为“准奇函数”，称点\((a，b)\)为函数\(f(x)\)的中心点。现有如下命题：

①函数\(f(x)=sinx+1\)为准奇函数；

②若准奇函数\(y=f(x)\)在\(R\)上的"中心点"为\((a，f(a))\)，则函数\(F(x)=f(x+a)-f(a)\)为\(R\)上的奇函数；

③已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+6x-2\)是准奇函数，则它的“中心点”为\((1，2)\)；

其中正确的命题是_________。①②③

分析：

对①而言，由于\(f(\pi+x)+f(\pi-x)=sin(\pi+x)+1+sin(\pi-x)+1=-sinx+1+sinx+1=2\)，

故\(f(x)\)是准奇函数，且中心点为\((\pi，1)\)。故①正确；

对②而言，由于准奇函数\(y=f(x)\)在\(R\)上的"中心点"为\((a，f(a))\)，

则有\(f(a+x)+f(a-x)=2f(a)\)，

故\(F(-x)+F(x)=f(-x+a)-f(a)+f(x+a)-f(a)=2f(a)-2f(a)=0\)，故\(F(x)\)为\(R\)上的奇函数；故②正确；

③函数\(f(x)=x^3-3x^2+6x-2\)，则\(f(1+x)=(1+x)^3-3(1+x)^2+6(1+x)-2\)，

则\(f(1-x)=(1-x)^3-3(1-x)^2+6(1-x)-2\)，这样得到，

\(f(1+x)+f(1-x)=4=2\times 2\)，故函数\(f(x)\)是准奇函数，且它的“中心点”为\((1，2)\)；故③正确；

【新定义题目】【2019届高三理科数学课时作业】定义\(\cfrac{n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}\)为\(n\)个正数\(p_1，p_2，\cdots，p_n\)的“均倒数”。若已知正项数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和的“均倒数”为\(\cfrac{1}{2n+1}\)，又\(b_n=\cfrac{a_n+1}{4}\)，则\(\cfrac{1}{b_1b_2}\)\(+\cfrac{1}{b_2b_3}\)\(+\cfrac{1}{b_3b_4}+\)$\cdots $$+\cfrac{1}{b_{10}b_{11}}=$ 【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{1}{11}$ $B.\cfrac{1}{12}$ $C.\cfrac{10}{11}$ $D.\cfrac{11}{12}$

分析：由新定义可知，\(\cfrac{n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}=\cfrac{1}{2n+1}\)，

则由上式得到，\(S_n=n(2n+1)\)，又由\(a_n\)与\(S_n\)的关系可知，

当\(n\geqslant 2\)时，\(S_{n-1}=(n-1)[2(n-1)+1]\)，则\(a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1\)；

再验证\(n=1\)时，\(a_1=1(2\times 1+1)=3=4\times 1-1\)，满足上式，

故\(a_n=4n-1(n\in N^*)\)，

则结合题目可知，故\(b_n=\cfrac{a_n+1}{4}=\cfrac{4n-1+1}{4}=n\)，

则\(\cfrac{1}{b_1b_2}+\cfrac{1}{b_2b_3}+\cfrac{1}{b_3b_4}+\cdots+\cfrac{1}{b_{10}b_{11}}\)

\(=[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+\cdots+(\cfrac{1}{10}-\cfrac{1}{11})]=\cfrac{10}{11}\)，

故选\(C\)。

【2019届高三理科数学二轮复习用题】若数列\(\{a_n\}\)满足：对任意的\(n\in N^*\)且\(n\ge 3\)，总存在\(i，j\in N^*\)，使得\(a_n=a_i+a_j\)，\(i\neq j，i<n，j<n\)，则称数列\(\{a_n\}\)为"\(T\)数列"，现有以下四个数列：①\(\{2n\}\)，②\(\{n^2\}\)，③\(\{3^n\}\)，④\(\{(\cfrac{\sqrt{5}-1}{2})^{n-1}\}\)，其中是"\(T\)数列"的个数有 【\(\qquad\)】

$A.0$ $B.1$ $C.2$ $D.3$

分析：本题目主要考查对数列的拆分，必须按照题目的要求进行有效的拆分；

对于①而言，\(a_n=2n\)，则 \(a_{n+2}=2(n+2)=2[(n+1)+1]=2(n+1)+2\times 1=a_{n+1}+a_1\)，故\(a_n=2n\)为"\(T\)数列"；

对于②而言，\(a_n=n^2\)，我们可以考虑让其下标满足的最小的情形，故做这样的尝试，当\(n，i，j\)依次取值为\(3，2，1\)时，\(a_1=1^2\)，\(a_2=2^2\)，\(a_3=3^2\)，并不满足\(a_n=a_i+a_j\)，都\(a_n=n^2\)不是"\(T\)数列"；

对于③而言，\(a_n=3^n\)，我们可以考虑让其下标满足的最小的情形，故做这样的尝试，当\(n，i，j\)依次取值为\(3，2，1\)时，\(a_1=3^1\)，\(a_2=3^2\)，\(a_3=3^3\)，并不满足\(a_n=a_i+a_j\)，都\(a_n=3^n\)不是"\(T\)数列"；

对于④而言，\(a_n=(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}\)，则\(a_{n+2}-a_n=(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}=(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}[(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})^{2}-1]\)

\(=(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}=(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}=a_{n+1}\)，

即\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)，故数列\(a_n=(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}\)为"\(T\)数列"；

综上所述，满足"\(T\)数列"的有2个，故选\(C\).

【2019届高三理科数学三轮模拟训练用题】2018年8月10日至12日，第八届全国数学文化论坛学术会议在山东大学(威海)顺利召开，深圳大学张文俊教授在大会上做了题为《斐波那契数列中的文化元素》的报告，斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，\(\cdots\)，下图给出了斐波那契数列\(\{a_n\}\)的一条性质，无需文字的证明，则\(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots+a_{12}^2\)= 【\(\qquad\)】

$A.4895$ $B.12816$ $C.33552$ $D.87841$

分析：斐波那契数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，\(\cdots\)，由所给的图形可知，

\(1^2+1^2+2^2\)时的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为\((1+2)\)和\(2\)，其值为\((1+2)\times 2\)

\(1^2+1^2+2^2+3^2\)时的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为\((2+3)\)和\(3\)，其值为\((2+3)\times 3\)

\(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2\)时的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为\((3+5)\)和\(5\)，其值为\((3+5)\times 5\)

故\(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots+a_{12}^2\)的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为\((a_{11}+a_{12})\)和\(a_{12}\)，其值为\((89+144)\times 144=33552\)，故选\(C\)。

【2019届高三理科数学三轮模拟训练用题】定义：椭圆\(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为“好弦”，则椭圆\(\cfrac{x^2}{25}+\cfrac{y^2}{9}=1\)的所有“好弦”的长度为【\(\qquad\)】

$A.162$ $B.166$ $C.312$ $D.364$

分析：椭圆\(\cfrac{x^2}{25}+\cfrac{y^2}{9}=1\)中的最短弦长为通经，最长的弦长为长轴的长，容易计算得到通经长为\(\cfrac{18}{5}=3.6\)，则椭圆的弦从最短的弦变化为最长的弦的过程中，得到的好弦的长度分别为\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)，\(10\)，

而且由于椭圆关于\(x\)轴对称，故有两组，又由于焦点有两个，故还有两组，故共有四组，其和为\((4+5+6\) \(+7+8+9+\) \(10)\times 4\) \(=196\)，但是上述的计算过程中将最长的好弦(即长轴)多计算了3次，故所求为\(196-30=166\)，故选\(B\)。

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新定义习题02