理解教材意图轻松积累常见数列

教学感悟

以前在传授数列时只是机械的要求学生记住常见的数列，至于“哪些才算是常见的数列？这些数列是怎么来的”，心里比较糊涂，在有一次的教学中，偶然回忆起：函数教学时教材要求掌握一些常见的函数，对比这些数列和函数，心里豁然开朗。有图为证：

比如说特殊的幂函数：\(y=x\)，\(y=x^2\)，\(y=\cfrac{1}{x}\)；

特殊的指数函数：\(y=2^x\)，\(y=3^x\)，\(y=10^x\)，\(\cdots\)，

这些函数都是函数教学中比较常见和重要的函数，使用的频度比较高，那么考查以下基于这些函数的数列就是自然而然的事情了。

依托函数

• 基于函数\(y=x^2\)的数列，比如说：

数列\(\;1\)，\(4\)，\(9\)，\(16\)，\(25\)，\(\cdots\)，归纳总结得到，其通项公式是\(a_n=n^2\)；

数列\(\;0\)，\(3\)，\(8\)，\(15\)，\(24\)，\(\cdots\)，归纳总结得到，其通项公式是\(a_n=n^2-1\)；

数列\(\;2\)，\(5\)，\(10\)，\(17\)，\(26\)，\(\cdots\)，归纳总结得到，其通项公式是\(a_n=n^2+1\)；

数列\(\;2\)，\(6\)，\(12\)，\(20\)，\(30\)，\(\cdots\)，归纳总结得到，其通项公式是\(a_n=n(n+1)\)；

数列\(\;0\)，\(2\)，\(6\)，\(12\)，\(20\)，\(\cdots\)，归纳总结得到，其通项公式是\(a_n=n(n-1)\)；

数列\(\;3\)，\(15\)，\(35\)，\(63\)，\(99\)，\(\cdots\)，归纳总结得到，其通项公式是\(a_n=(2n-1)(2n+1)\)；

数列\(\;8\)，\(24\)，\(48\)，\(80\)，\(120\)，\(\cdots\)，归纳总结得到，其通项公式是\(a_n=2n(2n+2)\)；

• 基于函数\(y=\cfrac{1}{x}\)的数列，比如说：

数列\(\;1\)，\(\cfrac{1}{2}\)，\(\cfrac{1}{3}\)，\(\cfrac{1}{4}\)，\(\cfrac{1}{5}\)，\(\cdots\)，归纳总结得到，其通项公式是\(a_n=\cfrac{1}{n}\)；

数列\(\cfrac{1}{2}\)，\(\cfrac{1}{6}\)，\(\cfrac{1}{12}\)，\(\cfrac{1}{20}\)，\(\cfrac{1}{30}\)，\(\cdots\)，归纳总结得到，其通项公式是\(a_n=\cfrac{1}{n(n+1)}\)和此通项公式紧密相连的变形方法就是裂项相消法：\(a_n\)\(=\)\(\cfrac{1}{n}\)\(-\)\(\cfrac{1}{n+1}\)；裂项相消法

数列\(\;1\)，\(\cfrac{1}{3}\)，\(\cfrac{1}{7}\)，\(\cfrac{1}{15}\)，\(\cfrac{1}{31}\)，\(\cdots\)，其通项公式是\(a_n=\cfrac{1}{2^n-1}\)和此结构紧密相关的就是不等式证明和放缩法；

数列\(\;1\)，\(\cfrac{1}{4}\)，\(\cfrac{1}{9}\)，\(\cfrac{1}{16}\)，\(\cfrac{1}{25}\)，\(\cdots\)，其通项公式是\(a_n=\cfrac{1}{n^2}\)；

• 基于函数\(y=2^x\)的数列，比如说

数列\(\;1\)，\(2\)，\(4\)，\(8\)，\(16\)，\(\cdots\)，其通项公式是\(a_n=2^{n-1}\)；

数列\(\;0\)，\(1\)，\(3\)，\(7\)，\(15\)，\(\cdots\)，其通项公式是\(a_n=2^{n-1}-1\)；

• 基于函数\(y=3^x\)的数列，比如说

数列\(\;1\)，\(3\)，\(9\)，\(27\)，\(81\)，\(\cdots\)，其通项公式是\(a_n=3^{n-1}\)；

数列\(\;2\)，\(4\)，\(10\)，\(28\)，\(82\)，\(\cdots\)，其通项公式是\(a_n=3^{n-1}+1\)；

• 基于函数\(y=10^x\)的数列，比如说

数列\(\;0.1\)，\(0.01\)，\(0.001\)，\(0.0001\)，\(\cdots\)，其通项公式是\(a_n=(\cfrac{1}{10})^n\)；

数列\(\;9\)，\(99\)，\(999\)，\(9999\)，\(99999\)，\(\cdots\)，其通项公式是\(a_n=10^n-1\)；

数列\(\;5\)，\(55\)，\(555\)，\(5555\)，\(55555\)，\(\cdots\)，其通项公式是\(a_n=\cfrac{5}{9}(10^n-1)\)；

数列\(\;0.9\)，\(0.99\)，\(0.999\)，\(0.9999\)，\(\cdots\)，其通项公式是\(a_n=1-(\cfrac{1}{10})^n\)；

• 符号数列或者符号因子数列\(\{(-1)^k\}\)或\(\{(-1)^{k+1}\}\)

\((-1)^k\)：\(-1\)，\(1\)，\(-1\)，\(1\)，\(-1\)，\(1\)，\(\cdots\)，奇数项为负，偶数项为正；

\((-1)^{k+1}\)：\(1\)，\(-1\)，\(1\)，\(-1\)，\(1\)，\(-1\)，\(\cdots\)，奇数项为正，偶数项为负；

有了以上的感悟和理解，我们再来看教材，也终于能理解编写者的良苦用意了。

小试牛刀

• 给定数列的前有限项，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式

考查方法：常以选择填空题形式考查；主要考查观察归纳法，熟练记忆常见数列的通项公式，然后组合即可突破此类问题。

数列\(\cfrac{15}{2}\)，\(-\cfrac{24}{5}\)，\(\cfrac{35}{10}\)，\(-\cfrac{48}{17}\)，\(\cfrac{63}{26}\)，\(\cdots\)的一个通项公式为\(a_n\)=____________；

提示：\(a_n=(-1)^{n+1}\cdot \cfrac{(n+3)^2-1}{n^2+1}\)；

数列\(\cfrac{1}{2}\)，\(\cfrac{1}{4}\)，\(-\cfrac{5}{8}\)，\(\cfrac{13}{16}\)，\(-\cfrac{29}{32}\)，\(\cfrac{61}{64}\)，\(\cdots\)，的一个通项公式为\(a_n\)=____________；

提示：变形为\(-\cfrac{2^1-3}{2^1}\)，\(\cfrac{2^2-3}{2^2}\)，\(-\cfrac{2^3-3}{2^3}\)，\(\cfrac{2^4-3}{2^4}\)，\(-\cfrac{2^5-3}{2^5}\)，\(\cfrac{2^6-3}{2^6}\)，

故\(a_n=(-1)^n\cfrac{2^n-3}{2^n}\)；

已知数列的前\(4\)项为\(2\)，\(0\)，\(2\)，\(0\)，则依次归纳该数列的通项公式不可能是【】

$A.a_n=(-1)^{n-1}+1$

$B.a_n=\left\{\begin{array}{l}{2，n为奇数}\\{0，n为偶数}\end{array}\right.$

$C.a_n=2sin\cfrac{n\pi}{2}$

$D.a_n=cos(n-1)\pi+1$

分析：选\(C\)，由前有限项归纳通项公式，结果可能不唯一；

数列\(1\)，\(3\)，\(6\)，\(10\)，\(15\)，\(\cdots\)的一个通项公式为【\(\quad\)】

$A.a_n=n^2-(n-1)$

$B.a_n=n^2-1$

$C.a_n=\cfrac{n(n+1)}{2}$

$D.a_n=\cfrac{n(n-1)}{2}$

分析：

\(1=1\)；

\(3=1+2\)；

\(6=1+2+3\)；

\(10=1+2+3+4\)；

\(\cdots，\cdots\)

所以第\(n\)项为\(1+2+3+\cdots+n=\cfrac{n(n+1)}{2}\)，故选\(C\).

【2021届高三文科二轮资料用题】对大于 \(1\) 的自然数的三次幕可以分解成几个奇数的和，比如 \(2^3=3+5\)，\(3^{3}=7+9+11\)，\(4^{3}=13+15+17+19\), \(\cdots\)， 以此规律，则 \(45^{3}\) 的分解和式中一定不含有【\(\quad\)】

$A.2069$ $B.2039$ $C.2009$ $D.1979$

解析：观察总结可知， \(n^3\) 的分解式有 \(n\) 个奇数的和，而

\(2^3\) 的展开式中的第一项为 \(3=1\times 2+1\)；

\(3^3\) 的展开式中的第一项为 \(7=2\times 3+1\)；

\(4^3\) 的展开式中的第一项为 \(13=3\times 4+1\)；

\(5^3\) 的展开式中的第一项为 \(21=4\times 5+1\)；

故归纳总结可知，\(45^3\)的展开式中的第一项必然为\(44\times 45+1=1981\)，

故\(45^{3}\) 的分解和式中一定不含有\(1979\)，故选 \(D\).