常用数学模型整理
常用数学模型整理
导言
收集和理解高中数学中的各种常见的模型，对理解高中数学内容会有很大的帮助。现举例如下，待有空再整理。
集合包含模型
比如，集合\(A\)为定集，集合\(B\)为动集，且题设中有条件\(B\subseteq A\)，则常常需要针对集合\(B\)分类讨论：\(B=\varnothing\)或者\(B\neq\varnothing\)；
二次函数恒成立模型
- 希望能理解和掌握以下的常用转化。[1]
- 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a\neq 0)\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\)；
- 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a\neq 0)\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{\Delta \leq 0}\end{array}\right.\)；
- 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a> 0)\)在\([m，n]\)上恒成立的充要条件的写法有两种形式：
其一是\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{m<-\cfrac{b}{2a}<n}\\{f(-\cfrac{b}{2a})\ge 0}\end{array}\right.\)；
其二是\(\Delta \leq 0\)或\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\) - 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a> 0)\)在\([m，n]\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{f(m)\leq 0}\\{f(n)\leq 0}\end{array}\right.\)；
求参数范围模型
- 参数的判断原则，题目中求谁的范围，那么谁就是参数，另一个很自然就归并为自变量了。
- A、函数型恒成立
①一元一次型，求解方法：变换主元法[2]
②一元二次\(R\)型，求解方法： 二次项系数+ \(\Delta\)法[3]
③一元二次区间型，求解方法：分类讨论或分离参数法[4]
- B、最值型恒成立
解题必备：必备值域求法；分类讨论、数形结合思想；学会分离变量法；区别最值型恒成立和有解问题。
①\(A\leq f(x)\)在\(x\in[a，b]\)上恒成立(或 \(A\ge f(x)\))，等价于\(A\leq f(x)_{min}\)或\(A\ge f(x)_{max}\)。
②（注意具体题目中可能A为代数式，如\(A=m^2+2m\)）
\(g(m)\leq f(x)\)在\(x\in［a，b］\)上恒成立形式(或\(g(m)\ge f(x)\))，等价于\(g(m)\leq f(x)_{min}\)，\(x\in［a，b］\)时(或\(g(m)\ge f(x)_{max}\))。
③\(\forall x\in D，f(x)>g(x)\)型 同时注意“单变量”和“双变量”类型在转化时的区别,直接型恒成立和间接型恒成立
- C、绝对值型恒成立
-
①\(|f(x_1)-f(x_2)|\leq c\) 即就是 \(|f(x_1)-f(x_2)|\leq f(x)_{max}－f(x)_{min}\leq c\)
-
②$\forall x_1， x_2\in D $， \(|f(x_1)-f(x_2)|\leq a|x_1-x_2|\)[5]
恒成立(能)(恰)模型
相关阅读：1、恒成立、能成立和恰成立三类命题赏析；2、恒成立能成立和恰成立习题；
二次方程根的分布模型
1、相关阅读：一元二次方程根的分布；
方程有解模型
1、相关阅读：方程有解习题；
2、相关阅读：函数的零点和极值点；
- 可以转化为方程有解的题目：
① 函数\(f(x)\)有极值点；则导函数方程\(f '(x)=0\)在给定区间有解，且解为变号零点。
② 函数\(f(x)\)在给定区间不单调\(\Longrightarrow\)函数\(f(x)\)有极值点\(\Longrightarrow\)则导函数方程\(f '(x)=0\)在给定区间有解，且解为变号零点。
抽象不等式模型
\(f(M)\ge f(N)\)，函数的定义域为\(D\)，脱掉\(f\)后等价于从两个角度转换，即单调性+定义域两个角度。[6]
函数不等式模型
- 实质：带有前提条件的替换[7]
三角函数模型
- 涉及三角函数相关的变换的问题中，最多见的变形方向就是转化为正弦型；[8]
(1).求函数\(f(x)\)图像的对称轴方程；
分析：注意到\((\cfrac{\pi}{4}+x)+(\cfrac{\pi}{4}-x)=\cfrac{\pi}{2}\)，
则\(sin(x+\cfrac{\pi}{4})=cos(\cfrac{\pi}{4}-x)\)，且满足\(cos(\cfrac{\pi}{4}-x)=cos(x-\cfrac{\pi}{4})\)，
故\(f(x)=\cfrac{1}{2}cos2x+\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x-2sin(x-\cfrac{\pi}{4})cos(x-\cfrac{\pi}{4})\)
\(=\cfrac{1}{2}cos2x+\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x-sin(2x-\cfrac{\pi}{2})=\cdots = \sqrt{3}sin(2x+\sqrt{3})\)，
接下来使用模型函数求其对称轴方程；下同。
(2).求函数\(f(x)\)在区间\([-\cfrac{\pi}{12}，\cfrac{\pi}{2}]\)上的值域；
数列中求通项公式，求和公式
累加法、累乘法模型
错位相减法，
模型函数
研究透彻函数\(f(x)=sinx\)的性质，可以正向迁移研究\(y=A\sin(\omega\cdot x+\phi)+k\)的各种性质；
平行线法求切线模型
理解和掌握常见的求曲线的切线的思路和方法。[9]
部分分式模型+对号函数模型
均值不等式模型
高频等价转化
函数\(y=f(x)\)有\(n\)个零点 \(\Longleftrightarrow\) 方程\(f(x)=0\)有\(n\)个不同的根 \(\Longleftrightarrow\) 两个函数图像\(y=f(x)，y=0\)有\(n\)个不同的交点，思想方法：数形结合。
解不等式模型
①用代数方法解 如\(x^2-3|x|+2>0\)
②用图像解 如坐标系中给出函数\(f(x)\)和\(g(x)\)的图像，求解\(f(x)>g(x)\)等，
再如\(f(x)=x(x+2)(e^{x-1}-1)>0\)， 法1：图像法， 法2：代数方法
③用导数解，如\((x-1)f'(x)>0\)，比较\(f(0)+f(2)>2f(1)\)。
④构造函数解不等式 用"左-右"=\(g(x)\),利用导数知识求解。
- 已知[仿二次]函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{a=b=0}\\{c\ge 0}\end{array}\right.\)。
如引例1、\(f(a)=(x-2)a+(x^2-4x+4)>0\)在\(a\in［-1，1］\)恒成立，求\(a\)的取值范围。 ↩︎
如引例2、 $ f(x)=ax^2+2ax+3>0 $ 对 \(x\in R\)恒成立，求\(a\)的取值范围。 ↩︎
如引例3、$ f(x)=ax^2+2ax+3>0 $ 在 \(x\in［-1，1］\)恒成立，求\(a\)的取值范围。相关阅读：二次函数恒成立习题；
【思路对比】
引例4、$f(x)=x^2 +ax-2a\geqslant 0 $ 在区间 $ x \in［a，b］$ 上恒成立的转化思路
法1：二次函数法+分类讨论法【针对对称轴和给定区间的位置关系及判别式常常分3类情况讨论】
法2：分离参数法
引例5、$ f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a>0 $ 在区间 \(x\in［a，b］\) 上恒成立的转化思路 \(f(a)\leq 0\)且\(f(b)\leq 0\) ↩︎思路提示：利用题目的条件，去掉两边的绝对值符号，变形为 \(f(x_2)-f(x_1)\leq a(x_1-x_2)\)，再变形为\(f(x_2)+ax_2\leq f(x_1)+ ax_1\) ，接下来构造新函数\(g(x)=f(x)+ax\)，研究新函数的性质解题。 ↩︎
- 引例：已知函数\(f(x)=2015^x-log_{2015}(\sqrt{x^2+1}-x)-2015^{-x}+2\)，求解不等式\(f(3x+1)+f(x)>4\)
分析：此类题目一般的思路是把左右转化为形如\(f(M)≥f(N)\)，然后再脱掉\(f\),就可以求解了，但是左边需要这样的性质：\(f(x)+f(y)=f(xy)\)，
右边也需要将4\(f\)化，经过尝试，这个性质\(f(x)+f(y)=f(xy)\)并不满足，由原题可得\(f(0)=2\)，也并不能顺利的将4\(f\)化，所以我们得变换思路。
先考虑函数的奇偶性，发现\(f(-x)+f(x)=4\),这样将右端的4做一个代换，就得到\(f(3x+1)+f(x)>f(x)+f(-x)\)，整理后就成了\(f(3x+1)>f(-x)\)，
接下来用单调性脱掉符号\(f\)即可求解。
解析：由题目可知函数的定义域为\(R\)，函数的各个部分\(2015^x\)单增，\(-log_{2015}(\sqrt{x^2+1}-x)\)单增，\(-2015^{-x}+2\)单增，所以\(f(x)\)单增，
又\(f(-x)+f(x)=4\)，所以带入原不等式得到\(f(3x+1)+f(x)>f(x)+f(-x)\)，
故有\(f(3x+1)>f(-x)\)，定义域为\(R\)，单增，则有\(3x+1>-x\)，解得\(x>-\cfrac{1}{4}\)。
解后反思：
【题目原始模型】\(log_2 (x+1)>log_2 (2-x)\)，由于单调性，定义域是隐含已知的，故转化为不等式组\(\begin{cases} &0 < x+1 \\ &0 <2-x \\ &2-x<x+1\end{cases}\)
【题目抽象模型】\(已知函数f(x)的定义域是[-1,1]\)，且满足\(\forall x_1，x_2\in [-1，1]，(x_1-x_2)\cdot(f(x_1)-f(x_2))>0\)，解不等式\(f(2x-1)>f(2-3x)\)，仿上，你会转化吗？
【再增加难度】\(已知函数f(x)的定义域是[-1,1]\)，且满足\(\forall x_1，x_2\in [-1，1]，(x_1-x_2)\cdot(f(x_1)-f(x_2))>0\)，\(f(x)+f(y)=f(xy)\)，解不等式\(f(2x-1)+f(2-3x)>f(0)\)，仿上，你会转化吗？
【再增加难度】\(已知函数f(x)的定义域是[-1,1]\)，且满足\(\forall x_1，x_2\in [-1，1]，(x_1-x_2)\cdot(f(x_1)-f(x_2))>0\)，\(f(-x)+f(x)=0\)，解不等式\(f(2x-1)+f(2-3x)>0\)，仿上，你会转化吗？
- 引例：已知函数\(f(x)=2015^x-log_{2015}(\sqrt{x^2+1}-x)-2015^{-x}+2\)，求解不等式\(f(3x+1)+f(x)>4\)
已知函数\(f(x) = \begin{cases}log_2^x &x>0 \\ 2^x &x\leq 0 \end{cases}\)，若\(f(a)\ge 1\)，求\(a\)的取值范围。
分析：原函数不等式等价于不等式组\(\begin{cases}a>0\\\log_2^a\ge 1 \end{cases}\)或者\(\begin{cases} a\leq 0 \\\ 2^a\ge 1 \end{cases}\)， ↩︎\(y=asinx+bcosx\) \(\Longrightarrow\) \(y=A\sin(\omega\cdot x+\phi)+k\)后，可以常规化得求周期、值域、对称轴、对称中心、单调区间、奇偶性等。 ↩︎
函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)相切于点\(Q\)，求点\(Q\)的坐标。\((e，1)\)
分析：设函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)切点为\(Q(x_0,y_0)\)，则有
\(\left\{\begin{array}{l}{y_0=kx_0}\\{ y_0=lnx_0 }\\{k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}}\end{array}\right.\)；
从而解得\(x_0=e，y_0=1，k=\cfrac{1}{e}\)，
故切点\(Q\)的坐标为\((e，1)\)，此时的切线的斜率为\(k=\cfrac{1}{e}\) 具体参见课件
【引申为曲线上的点到直线上的点的最小值，平行线法。】直线\(y=x\)上的动点为\(P\)，函数\(y=lnx\)上的动点是\(Q\)，求\(|PQ|\)的最小值。
【等价题目】直线\(y=x\)上的点为\(P(x，y)\)，函数\(y=lnx\)上的点是\(Q(m，n)\)，求\(\sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}\)的最小值。
思路：平行线法，设和直线\(y=x\)平行且和函数\(y=lnx\)相切的直线为\(y=x+m\)，
切点为\(P_0(x_0,y_0)\)，则有\(\begin{cases} y_0=x_{0}+ m \\ y_0=lnx_0 \\ f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}=1\end{cases}\)；
从而解得\(x_0=1,y_0=0,m=-1\)所以所求的点点距的最小值，就转化为切点\(P_0(1,0)\)到直线\(y=x\)的点线距，
或者两条直线\(y=x,y=x-1\)的线线距了。 ↩︎
