浅议数学学习的层次化问题

关键词

数学学习 层次化

摘 要

本文以函数的奇偶性这一数学概念的学习层次为引子，旨在告诉学习如何学习数学的概念，如何学习数学，以帮助学习构建数学学习的框架，减轻学生的学习负担。

高中数学，一直是学生提升数学素养，参加高考的拦路虎，许多学生学得非常辛苦，但收效甚微，苦不堪言。教学生怎样学习一直是数学工作者的头等大事。从教几年的经验，让我对此有了一点浅薄的感悟，加以整理，以供参考。

• 高中数学概念“函数的奇偶性”

函数的奇偶性，是高中数学的一个很重要的概念，也是函数研究中的一个重要的性质。学生对此往往糊里糊涂，不明就里。究其原因，最主要的是学生不清楚，这一概念到底需要掌握到什么程度才好。

课本上的文字叙述是这样的：

对于函数\(f(x)\) 定义域中的任意一个自变量\(x\)，如果函数满足\(f(-x)= - f(x)\)，则称函数是奇函数；如果函数满足\(f(-x)= f(x)\)，则称函数是偶函数。

从文字表述中，我们至少应该达到的

基础知识层次[低级]

1、从“如何…，那么…”这一假设句式可以看出，不是所有的函数都有奇偶性，只有满足这些条件的函数才有这一性质。

2、由于接受对应法则\(f\)作用的自变量\(x\)和 \(–x\)，是一对相反数，说明函数具有奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称。

3、判断函数奇偶性的方法: ①定义法 ②图像法

4、判断函数奇偶性的步骤 ①判断定义域是否关于原点对称， ②判断\(f(-x)= - f(x)\)或\(f(-x)= f(x)\)是否成立， ③做出结论。

5、相应的配套练习

以上的知识层次往往是老师教给学生的\(\color{Red}{“鱼”}\)。属于这一概念的浅层次的认知。仅仅做到这些还不够，还需要主动出击，努力达到

简单应用层次[中级]

比如用这一性质来研究曾经学习过的函数（此时学生往往用到的方法是图像法）

幂函数：正比例函数 \(y=kx(k\neq0)\)（奇函数）； 反比例函数\(y=\cfrac{k}{x}(k\neq0)\)；

二次函数: \(y=ax^2(a\neq0)\)（偶函数）； 三次函数: \(y=ax^3(a\neq0)\)（奇函数）；

指数函数: \(y=a^x(a\neq1，a>0)\)（无奇偶性）

对数函数: \(y=log_a^{\;\;x}(a\neq1，a>0)\)（无奇偶性）

三角函数：\(y=Asin\)\(\omega\)\(x\) ， (奇函数)等等

以上基本初等函数组合的延伸应用：（这些知识往往不能用图像法来解决，需要回归定义）

由此还能解决二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\) 为偶函数的充要条件是\(b=0\) ，由此推广得到以下结论：

多项式函数\(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 为奇函数的充要条件是\(a=c=e=0\)

多项式函数\(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 为偶函数的充要条件是\(b=d=0\)

函数\(f(x)\) 是奇函数，并且在\(x=0\)处有定义，则\(f(0)=0\) ，

例题：已知函数\(f(x)=\cfrac{2^x+a}{1+2^x}\) 为奇函数，求\(a\)的值。

法一：定义法，由\(f(-x)= - f(x)\) 恒成立，求出\(a= -1\)

法二：简单方法，函数是奇函数，并且在\(x=0\)处有定义，则\(f(0)=0\) ，求出\(a= -1\)

例题：判断函数\(f(x)=x+sinx+\)\(\cfrac{2}{x}\) 的奇偶性。奇函数

到此我们还应该体会，学习了函数的奇偶性，我们能干什么？做更多函数的图像，认识更多函数的奇偶性，比如求解析式，

例题：已知函数\(f(x)\)是奇函数，当\(x>0\) 时，\(f(x)=x^2+2x\) ，求\(x<0\) 时的解析式

往前发展，纵深发展

灵活应用层次[高级]

1、抽象函数的奇偶性判断

已知函数\(f(x)\) 的定义域是\(R\)，并且满足\(f(x)+f(y)=f\left(\cfrac{x+y}{1+xy}\right)\) ，试判断函数的奇偶性。

分析：令\(x=y=0\) ,则\(f(0)+f(0)=f(0)\) ，所以 \(f(0)=0\)

令\(y= -x\) ，则\(f(x)+f(-x)=f(0)=0\) ，所以\(f(x)+f(-x)=0\) ，故函数\(f(x)\) 是奇函数。

想到用这样的方法解决问题，还取决于对定义式的变形应用\(f(x)+f(-x)=0\).

2、主动利用函数的奇偶性求值

已知函数\(f(x)=ax^5+x^3+x-1\),\(f(2)=3\)，求\(f(-2)\)的值。

分析：尽管函数\(f(x)\)没有奇偶性，但注意到\(\quad\underline{ax^5+x^3+x}\quad\Longrightarrow　g(x)\)是奇函数，

所以可以这样处理

令\(ax^5+x^3+x=g(x)\)，由于\(\quad f(2)=g(2)-1=3\),

故\(\quad g(2)=4\)，又\(\quad g(-2)= -g(2)= -4\),

所以\(f(-2)=g(-2)-1=-g(2)-1= -5\)

3、奇偶性和其他函数性质的综合应用

已知奇函数\(f(x)\)是定义在\((-2,2)\)上的减函数，若\(f(m-1)+f(2m-1)>0\)，求实数\(m\)的取值范围。

分析：这类题目往往需要综合运用函数的各种性质来解题，

由于函数\(f(x)\)是定义在\((-2,2)\)上的，故首先必须满足以下条件:\(\begin{cases} -2 < m-1 < 2 \\ -2 <2m-1 <2 \end{cases}\)

同时我们需要去掉不等式\(f(m-1)+f(2m-1)>0\)中的符号\(f\)，这样才能变成我们能解的不等式，为此，我们需要先变形为\(f(m-1)> - f(2m-1)\)，并且还需要把右式的负号给化到符号\(f\)内部，为的是顺利利用函数的单调性去掉符号\(f\)，这时就必须利用奇偶性，由于函数\(f(x)\)是奇函数则\(- f(2m-1)=f[-(2m-1)]=f(1-2m)\)，原不等式变形为\(f(m-1)> f(1-2m)\)，这时借助函数的单调性即减函数，就可以顺利的去掉符号\(f\)，得到\(m-1<1-2m\)

综上，需要同时满足条件：\(\begin{cases} -2 < m-1 < 2 \\ -2 <2m-1 <2 \\ m-1<1-2m\end{cases}\)

解之得，\(m\)的取值范围为\(m\in \left\{ m\mid -\cfrac{1}{2}<m<\cfrac{2}{3} \right\}\)

如果学生的数学学习都能经过这样的层次化的学习：

\[\color{Blue}{基础知识层次\Rightarrow简单应用层次\Rightarrow灵活应用层次} \]

相信他们对数学概念的理解肯定会逐步深化，应用会得心应手。