斜二测画法

前言

"斜二测"这个词汇通常用于描述一种特定的几何投影方法，它是在绘制技术图纸或进行几何设计时常用的一种方法。具体来说，"斜二测"是一种将三维对象投影到二维平面上的技术，它能够以一种较为直观和易于理解的方式展示对象的三个主要视图（前视图、顶视图和侧视图）。

在"斜二测"投影中，通常会将对象的一个面（通常是底面）放置在一个与投影平面平行的位置，而其他面则以45度角倾斜投影到该平面上。这种投影方法能够较好地保持对象的尺寸比例和形状特征，使得观察者能够更容易地理解对象的三维结构。

"斜二测"这个名称的由来可能是因为它使用了两个主要的投影方向：一个沿着投影平面的水平方向（即正视图），另一个沿着与投影平面成45度角的斜方向（即侧视图）。这种结合了两个方向的投影方法，使得它在工程和设计领域中得到了广泛的应用。

总的来说，"斜二测"是一种有效的三维到二维的投影技术，它能够帮助人们更好地理解和展示复杂的三维对象。

正投影和斜投影都属于平行投影[即光源为一族平行直线]，三视图是用正投影得到的，由于是正投影，所以相关的长、宽、高数据没有失真；而直观图是由斜投影得到的，相关数据有部分失真，但是效果图和我们看到的直观感受是一致的。

斜二测画法是作空间几何直观图的一种有效方法，是空间几何直观图的画法基础。它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现。斜二测画法可以看成物体平移到观察者远处、10:30 方向（左前方 45° ）、俯角 30° 的透视图。

斜二测画法的面积是原来图形面积的\(\cfrac{\sqrt{2}}{4}\)倍。即\(\cfrac{S_{\textbf{直观图}}}{S_{\textbf{原来图}}}=\cfrac{\sqrt{2}}{4}\) . \(S_{\textbf{椭圆}}=\pi ab\)，\(a,b\) 分别为椭圆的长半轴和短半轴。

正五边形斜二测画法

正六边形斜二测画法

圆的直观图

• 圆的直观图用正等测画法来作，实际操作中使用椭圆模板或者徒手画成椭圆。需要了解正等测画法的，自行百度。

逆向思维

如图矩形 \(O'A'B'C'\)是一个水平放置的平面图形的直观图，其中 \(O'A'=3\)，\(O'C'=1\)，则原图形是 【\(\qquad\)】

$A$. $\textbf{面积为} 6\sqrt{2}\textbf{的菱形}$

$B.$ $\textbf{面积为} 6\sqrt{2}\textbf{的矩形}$

$C.$$\textbf{面积为} \cfrac{3\sqrt{2}}{4}\textbf{的菱形}$

$D.$$\textbf{面积为} \cfrac{3\sqrt{2}}{4}\textbf{的矩形}$

解析：本题目的求解涉及平面图形的直观图的斜二测画法的逆向问题，按照这种画法我们还原直观图对应平面图形，由图可知，\(O'C'=1\)，\(\angle C'O'D'=\angle x'O'y'=45^{\circ}\)，则 \(O'D'=\sqrt{2}\)，\(D'B'=2\)，在右端做平面直角坐标系 \(xOy\)，在 \(x\) 轴的正半轴上取点 \(A\) ，使得 \(OA=O'A'\)，在 \(y\) 轴的正半轴上取点 \(D\) ，使得 \(OD=2O'D'=2\sqrt{2}\)，过点 \(D\) 做直线平行于 \(x\) 轴，在此直线上点 \(D\) 的右侧取点 \(B\) ，使得 \(DB=D'B'\)，在此直线上点 \(D\) 的左侧取点 \(C\) ，使得 \(CD=C'D'\)，将 点 \(O\)、 \(A\)、 \(B\)、 \(C\) 顺次相连就得到平行四边形 \(ABCD\)，通过勾股定理可以计算得到 \(OC=3\)，又 \(OA=3\)，故平行四边形 \(ABCD\) 的邻边相等，故是菱形，且可以计算其面积为\(3\times2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)，故选 \(A\) .