含有符号数列的数列求和

前言

• 符号数列或者符号因子数列\(\{(-1)^k\}\)或\(\{(-1)^{k+1}\}\)

\((-1)^k\)：\(-1\)，\(1\)，\(-1\)，\(1\)，\(-1\)，\(1\)，\(\cdots\)，奇数项为负，偶数项为正；

\((-1)^{k+1}\)：\(1\)，\(-1\)，\(1\)，\(-1\)，\(1\)，\(-1\)，\(\cdots\)，奇数项为正，偶数项为负；

典例剖析

【2019\(\cdot\)广州模拟】数列 \(\{a_{n}\}\) 满足 \(a_{2}=2\)， \(a_{n+2}+(-1)^{n+1} a_{n}=1+(-1)^{n}\) \((n\in N^{*})\)，\(S_{n}\) 为数列 \(\{a_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和， 则 \(S_{100}=\) 【\(\quad\)】

$A.5100$ $B.2550$ $C.2500$ $D.2450$

分析：当题目中出现符号数列 \((-1)^n\) 或者 \((-1)^{n+1}\) 时，我们常常分类讨论发现规律或者求解；

解析: 由 \(a_{n+2}+(-1)^{n+1}a_{n}=1+(-1)^{n}\)，\(\quad(n\in N^{*})\)，

当 \(n\) 为奇数时， 可得 \(a_{1}+a_{3}=a_{3}+a_{5}=a_{5}+a_{7}\)\(=\cdots=0\)，

当 \(n\) 为偶数时， 可得 \(a_{4}-a_{2}=a_{6}-a_{4}=a_{8}-a_{6}=\cdots=2\)，

由此可知，数列 \(\{a_{n}\}\) 的奇数项相邻两项的和为 \(0\) ，偶数项是首项为 \(a_{2}=2\)，公差为 \(2\) 的等差数列，

所以 \(S_{100}=S_{奇}+S_{偶}=50\times 0\) \(+50\times 2+\cfrac{50\times 49}{2}\times 2=2550\)， 故选 \(B\).

【2019\(\cdot\)厦门模拟】数列 \(\{a_{n}\}\) 满足 \(a_{n+1}+(-1)^{n+1}a_{n}=2\)， 则其前 \(100\) 项和为 【\(\quad\)】

$A.250$ $B.200$ $C.150$ $D.100$

分析：当题目中出现符号数列 \((-1)^n\) 或者 \((-1)^{n+1}\)时，我们常常分类讨论发现规律或者求解；

解析: 当\(n=2k(k\in N^{*})\) 时， \(a_{2k+1}-a_{2k}=2\)①，

当 \(n=2k-1(k\in N^{*})\) 时， \(a_{2k}+a_{2k-1}=2\)②，

当 \(n=2k+1(k\in N^{*})\) 时，\(a_{2k+2}+a_{2k+1}=2\)③，

由①+②得到， \(a_{2k+1}+a_{2k-1}=4\)，

由③-①得到，\(a_{2k+2}+a_{2k}=0\)，

所以 \(\{a_{n}\}\) 的前 \(100\) 项的和\(S_{100}=S_{奇}+S_{偶}\)

\(=[(a_{1}+a_{3})+\cdots+(a_{97}+a_{99})]+[(a_{2}+a_{4})+\cdots+(a_{98}+a_{100})]\)

\(=25\times4+25\times0=100\)， 故选\(D\).

【2019届高三理科数学课时作业】已知数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=(-1)^n(a_n+1)\)，记\(S_n\)为其前\(n\)项和，则\(S_{2018}\)=_______。

分析：带有\((-1)^n\)的数列更多的体现出周期性，所以计算其前几项发现：

\(a_1=1\)，\(a_2=-2\)，\(a_3=-1\)，\(a_4=0\)，\(a_5=1\)，\(a_6=-2\)，\(\cdots\)，

即周期\(T=4\)，且有\(a_1+a_2+a_3+a_4=-2\)，

故\(S_{2018}=504\times(-2)+a_1+a_2=-1008+1-2=-1009\).