解三角形|三角变换的方向总结

前言

方向分析

【2017\(\cdot\)全国卷I改编】\(\triangle ABC\) 的内角\(A\)、\(B\)、\(C\)的对边分别为 \(a\)、 \(b\)、 \(c\)， 已知\(\sin B\)\(+\)\(\sin A\)\((\sin C\)\(-\)\(\cos C)\)\(=\)\(0\)， \(a=2\)， \(c=\sqrt{2}\)，则 \(C\)=________.

分析一：由题目的已知和求解内容，确定变形方向，由于题目已知了边 \(a\) 和边 \(c\)，要求解角 \(C\)，结合正弦定理，我们猜想，肯定需要由给定的其他条件要得到角 \(A\)；故针对\(\sin B\)\(+\)\(\sin A\)\((\sin C\)\(-\)\(\cos C)\)\(=\)\(0\)思考，如何能得到角 \(A\)，而不是其他的；也正因为这样，我们针对上述条件中的三个角，想到将角 \(B\) 转化，因为题目与它无关；故采用\(\sin B\)\(=\)\(\sin(A+C)\)，然后展开即可；

分析二：由给出的表达式确定变形方向，\(\sin B\)\(+\)\(\sin A\)\((\sin C\)\(-\)\(\cos C)\)\(=\)\(0\)思考，如果将\(\sin A\)分配进去，得到\(\sin A\sin C\)和\(\sin A\cos C\)这两个部分，我们发现他们都是两角和或者两角差的展开式的某一部分，故联想到改写，\(\sin B=\sin(A+C)\)，然后展开即可；

解析：由\(\sin B\)\(+\)\(\sin A\)\((\sin C\)\(-\)\(\cos C)\)\(=\)\(0\)，得到\(\sin(A+C)\)\(+\)\(\sin A\sin C-\sin A\cos C\)\(=\)\(0\)

打开得到，\(\sin A\cos C+\cos A\sin C+\sin A\sin C-\sin A\cos C=0\)

整理得到，\(\cos A\sin C+\sin A\sin C=0\)，即\((\cos A+\sin A)\sin C=0\)，

约掉\(\sin C\)，得到\(\sin A+\cos A=0\)，即\(\tan A=-1\)，由\(A\in (0,\pi)\)，

故\(A=\cfrac{3\pi}{4}\)，再结合\(a=2\)， \(c=\sqrt{2}\)，使用正弦定理得到

\(\sin C=\cfrac{c\cdot\sin A}{a}=\cfrac{\sqrt{2}\sin\cfrac{3\pi}{4}}{2}=\cfrac{1}{2}\)，又\(C\in (0,\cfrac{\pi}{4})\)，

故\(C=\cfrac{\pi}{6}\).

应用举例

设 \(\triangle ABC\) 的内角\(A\)、\(B\)、\(C\)的对边分别为 \(a\)、 \(b\)、 \(c\)，若 \(2\sin A\cos B=\sin C\) ，则 \(\triangle ABC\) 的形状为【\(\qquad\)】

$A.\textbf{直角三角形}$ $B.\textbf{等腰三角形}$ $C.\textbf{等腰直角三角形}$ $D.\textbf{等边三角形}$

分析：由条件\(2\sin A\cos B=\sin C\)得到，

\(2\sin A\cos B=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)，

整理得到\(\sin A\cos B-\cos A\sin B=0\)，即\(\sin(A-B)=0\)，

故\(A=B\)，即为等腰三角形。

法2：角化边，\(2\cdot\cfrac{a}{2R}\cdot \cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\cfrac{c}{2R}\)，变形整理得到，

\(a^2+c^2-b^2=c^2\)，即\(a^2=b^2\)，则\(a=b\)，故为等腰三角形。

【2020安徽模拟】已知 \(a\cos (B-C)=\cos A(2\sqrt{3}\cdot b\cdot \sin C-a)\)，

(1).求角\(A\)；

分析：本题目的三角变换的方向不好分析，稍不注意就会陷入变换的坑里面，跳不出来；一般题目中出现\(\cos(B-C)\)都是我们需要变换注意的地方，同时应该注意要消去角 \(B\) 和 \(C\)，不过为了达到这一目的，需要将\(\cos A=-\cos(B+C)\)打开整理，与\(\cos(B-C)\)的展开式合并整理，这样结果一下子就清爽多了。

解析：由角化边得到，\(\sin A\cos(B-C)=\cos A(2\sqrt{3}\sin B\sin C-\sin A)\)，

即\(\sin A(\cos B\cos C+\sin B\sin C)=2\sqrt{3}\sin B\sin C\cos A-\sin A\cos A\)，

即\(\sin A(\cos B\cos C+\sin B\sin C+\cos A)=2\sqrt{3}\sin B\sin C\cos A\)，

即\(\sin A[\cos B\cos C+\sin B\sin C-\cos(B+C)]=2\sqrt{3}\sin B\sin C\cos A\)，

则\(\sin A(\cos B\cos C+\sin B\sin C-\cos B\cos C+\sin B\sin C)=2\sqrt{3}\sin B\sin C\cos A\)，

即\(2\sin A\sin B\sin C=2\sqrt{3}\sin B\sin C\cos A\)，

即\(\sin A=\sqrt{3}\cos A\)，即\(\tan A=\sqrt{3}\)，

由于\(A\in (0,\pi)\)，故\(A=\cfrac{\pi}{3}\)；

(2).若三角形的周长\(C_{\triangle ABC}=8\)，其外接圆的半径为\(R=\sqrt{3}\)，求三角形的面积\(S\).

分析：由于\(\cfrac{a}{\sin A}=2R=6\)，\(A=\cfrac{\pi}{3}\)， 故\(a=3\)，

又由于三角形的周长\(C_{\triangle ABC}=8\)，则\(b+c=5\)，

由\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)，即\(3^2=(b+c)^2-2bc-bc\)，即\(3^2=5^2-3bc\)，

故\(bc=\cfrac{16}{3}\)，\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}bc\sin A=\cfrac{1}{2}\times \cfrac{16}{3}\times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\).

【2024高一数学联考】在锐角 \(\triangle ABC\) 中，内角 \(A\)， \(B\)， \(C\) 所对的边分别是 \(a\)，\(b\)，\(c\)，且 \(2c\sin(B-A)\)\(=\)\(2a\sin A\cos B\)\(+\)\(b\sin2A\)，则 \(\cfrac{c}{a}\) 的取值范围是 ____________________.

解析： 由 \(2c\sin(B-A)=2a\sin A\cos B+b\sin2A\)，边化角，

得到 \(2\sin C\sin(B-A)=2\sin A\sin A\cos B+\sin B\sin2A\)，

即 \(2\sin C\sin(B-A)=2\sin A\sin A\cos B+2\sin B\sin A\cos A=2\sin A(\sin A\cos B+\cos A\sin B)\)，

即 \(2\sin C\sin(B-A)=2\sin A\sin(A+B)=2\sin A\sin C\)，由于 \(\sin C\neq 0\)，约去，

得到 \(\sin(B-A)=\sin A\)，又由于 \(0<A,B,C<\cfrac{\pi}{2}\)，

故 \(0<B-A<\cfrac{\pi}{2}\)，\(0<A<\cfrac{\pi}{2}\)，

则得到 \(B-A=A\)，即 \(B=2A\)，所以 \(C=\pi-3A\)，

由 \(\left\{\begin{array}{l}{0<A<\cfrac{\pi}{2}}\\{0<2A<\cfrac{\pi}{2}}\\{0<\pi-3A<\cfrac{\pi}{2}}\end{array}\right.\quad\)，

解得 \(\cfrac{\pi}{6}<A<\cfrac{\pi}{4}\)，则有 \(\cfrac{\sqrt{2}}{2}<\cos A<\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，

故 \(\cfrac{1}{2}<\cos^2A<\cfrac{3}{4}\)，

又由正弦定理得到，\(\cfrac{c}{a}=\cfrac{\sin C}{\sin A}\)

\(=\cfrac{\sin 3}{\sin A}=\cfrac{\sin(2A+A)}{\sin A}=\cfrac{\sin2A\cos A+\cos2A\sin A}{\sin A}\)

\(=2\cos^2A+\cos2A=4\cos^2A-1\in(1,2)\) .

[解后反思]：此题目的难点是三角变换的方向的选择，如果将题目中的 \(\sin(B-A)\) 打开，那么题目的难度就大多了。