直线和平面所成的角 | 线面角

前言

线面角定义

一般情形下的定义：如图所示，平面\(\alpha\)的一条斜线\(AB\)和它在平面上的射影\(DE\)所成的锐角\(\theta\)，叫做这条直线\(AB\)和这个平面\(\alpha\)所成的角。

定义的补充：当一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；当一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是\(0^{\circ}\) 的角。

所以线面角范围：直线和平面所成角的范围是\([0°，90°]\)；

直接法

①直接法，由于线面角是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角，故通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。举例如下：

四面体\(ABCS\)中，\(SA\)，\(SB\)，\(SC\) 两两垂直，\(∠SBA=45°\)，\(∠SBC=60°\)，\(M\)为\(AB\)的中点，求解：

(1). 直线\(BC\)与平面\(SAB\)所成的角。

分析：\(SC\perp SB\)，\(SC\perp SA\)，\(SC\perp\) 平面 \(SAB\)，

故\(SB\) 是斜线\(BC\) 在平面\(SAB\) 上的射影，

\(\angle SBC\) 是直线 \(BC\) 与平面 \(SAB\) 所成的角为\(60°\).

(2). 直线\(SC\)与平面\(ABC\)所成的角。

分析：连结\(SM\)， \(CM\)，则\(SM\perp AB\)，又\(SC\perp AB\)，

\(AB\perp\) 平面\(SCM\)，面\(ABC\perp\) 面\(SCM\)，过\(S\)作\(SH\perp CM\)于\(H\)，

则\(SH\perp\) 平面\(ABC\)，直线\(CH\)即为 \(SC\) 在面\(ABC\)内的射影。

\(\angle SCH\) 为直线\(SC\)与平面\(ABC\)所成的角。令\(SB=2\)，则\(SA=2\)，\(SC=2\sqrt{3}\)，

\(AB=2AM=2\sqrt{2}\)，则\(AM=\sqrt{2}\)，\(SM=\sqrt{2}\)，则\(CM=\sqrt{14}\)，

在\(Rt\triangle SCM\)中，利用等面积法，可得\(SH=\cfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\)，由\(\sin\angle SCH=\cfrac{SH}{SC}\)，

可得，直线\(SC\) 与平面 \(ABC\) 所成的角的正弦值为\(\cfrac{\sqrt{7}}{7}\).

解后反思：①等面积法；②垂线段的相对性；③注意线面角的视角；

三角公式法

②利用公式\(\sin\theta=\cfrac{h}{l}\)求解，其中\(\theta\)是斜线与平面所成的角，\(h\)是垂线段的长，\(l\)是斜线段的长，其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点，在具体题目中常使用构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长。

长方体 \(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)， \(AB=3\)， \(BC=2\)， \(A_{1}A=4\)， 求 \(AB\) 与面 \(AB_{1}C_{1}D\)所成的角的正弦值.

解析：本方法的优越性在于我们不一定要精确的做出来这个线面角，比如本题目我们不需要确定点\(B\)在平面\(AB_{1}C_{1}D\)上的垂足具体在哪里；

设点\(B\) 到平面 \(AB_{1}C_{1}D\)的距离为\(h\)，

由等体积法，可知\(V_{B-AB_{1}C_{1}}=V_{A-BB_{1}C_{1}}\)，即\(\cfrac{1}{3}S_{\Delta AB_{1}C_{1}}\cdot h=\cfrac{1}{3}S_{\Delta BB_{1}C_{1}}\cdot AB\)，

即\(\cfrac{1}{3}\times \cfrac{1}{2}\times 5\times 2\times h=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{1}{2}\times 4\times 2\times 3\)，解得 \(h=\cfrac{12}{5}\)，

设 \(AB\) 与面 \(AB_{1}C_{1}D\) 所成的角为\(\theta\)，则\(\sin\theta=\cfrac{h}{AB}=\cfrac{4}{5}\).

• 最小角定理

内容：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

【证明】如图，\(AO\)是平面\(\alpha\)的斜线，\(AB\)是平面\(\alpha\)的垂线，

\(OB\)是斜线\(OA\)在平面\(\alpha\)内的射影，\(\angle AOB\)为锐角，

\(OD\)是平面\(\alpha\) 内和\(OB\)不重合的任一直线，在\(OD\)上截取\(OC=OB\)，

连结 \(AC\)，则 \(AB<AC\)，[在\(\triangle ABC\) 中，\(AB\) 为直角边，\(AC\) 为斜边]

在\(\triangle AOB\)与\(\triangle AOC\)中，因为\(OA=OA\)，\(OB=OC\)，\(AB<AC\)，

借助余弦定理可知，\(\cos\angle AOB=\cfrac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\times OA\times OB}\)，\(\cos\angle AOC=\cfrac{OA^2+OB^2-AC^2}{2\times OA\times OB}\)，

则 \(\cos\angle AOB>\cos\angle AOC\)，又 \(y=\cos x\) 在 \((0,\cfrac{\pi}{2})\) 内单调递减，

故 \(\angle AOB<\angle AOC\)，又由直线 \(OD\) 的任意性可知， \(\angle AOB\) 是最小角。

说明：最小角定理是定义“斜线和平面所成的角”这一概念的理论基础。有了上面的性质，就保证了线面角的唯一性，从而保证了线面角的定义的合理性。

③ 最小角定理应用

如图，\(OA\)是平面\(ABD\)的斜线， \(OB\perp\) 平面 \(ABD\)于点\(B\) ，\(AD\) 是 平面\(ABC\) 内不与\(AB\) 重合的直线， 令\(\angle OAB=\alpha\)，\(\angle BAD=\beta\)，\(\angle OAD=\gamma\)，求证: \(\cos\gamma=\cos\alpha\cdot \cos\beta\)；

证明：过点\(B\)做\(BC\perp AD\)，垂足为点\(C\)，则由三垂线定理可知，\(AC\perp OC\)，

取\(|OA|=1\)，则在\(Rt\triangle OAB\)中，\(AB=OA\cdot \cos\alpha=\cos\alpha\)，

在\(Rt\triangle ABC\)中，\(AC=AB\cdot \cos\beta=\cos\alpha\cdot \cos\beta\)，

在\(Rt\triangle OAC\)中，\(AC=OA\cdot \cos\gamma=\cos\gamma\)，

故\(\cos\gamma=\cos\alpha\cdot \cos\beta\)；

最小角定理法

已知直线\(OA\)，\(OB\)，\(OC\)两两所成的角为\(60^{\circ}\) 求直线\(OA\) 与 面\(OBC\) 所成的角的余弦值。

解: 由于\(\angle AOB=\angle AOC\)，故\(OA\) 在面\(OBC\) 内的射影在 \(\angle BOC\)的平分线\(OD\)上，

则\(\angle AOD\) 即为\(OA\)与面\(OBC\)所成的线面角，可知\(\angle DOC=30^{\circ}\)，

由上述定理可知，\(\cos\angle AOC=\cos\angle AOD\cdot \cos\angle DOC\)，

即\(\cos60^{\circ}=\cos\angle AOD\cdot\cos30^{\circ}\)，故\(\cos\angle AOD=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\).

即\(OA\)与面\(OBC\)所成的角的余弦值如果要求解线面角的正弦值，先用此法求得余弦值，再用平方关系就可以求得余弦值；为\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\).

空间向量法

④空间向量法，利用空间向量的夹角求得线面角；

如图， 直线\(AO\)是平面\(\beta\)的斜线，直线\(OB\)是其射影，则\(\angle AOB=\theta\)是线面角，\(\angle OAB=\alpha\)，则不论直线的方向向量是\(\overrightarrow{OA}\)，还是\(\overrightarrow{AO}\)，也不论平面的法向量是\(\overrightarrow{AB}\)，还是\(\overrightarrow{BA}\)，必有

\(\cos\alpha=|\cos<\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{AB}>|=|\cos<\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{BA}>|=|\cos<\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{AB}>|=|\cos<\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{BA}>|\)，

又由于\(\sin\theta=\cos\alpha\)，故此时不需要纠结所取向量的方向，

则求解依据的公式简化为\(\sin\alpha=|\cos<\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{AB}>|\)如果题目要求线面角的余弦值，也是先求正弦值，再求余弦值；向量的方向不纠结，但别忘了绝对值符号；线面角范围\([0,\frac{\pi}{2}]\)，向量的夹角范围为\([0,\pi]\)；

如图，四边形\(ABCD\)为正方形，\(MA//PB\)， \(MA\perp BC\)， \(AB\perp PB\)，\(MA=1\)， \(AB=PB=2\)；

(I). 求证: \(PB\perp\) 平面 \(ABCD\)；

因为 \(MA\perp BC\)， \(MA//PB\)， 所以 \(PB\perp BC\)，

又因为 \(PB\perp AB\)， \(AB\cap BC=B\)，\(AB\subsetneqq\)平面\(ABCD\)，\(BC\subsetneqq\)平面\(ABCD\)，

所以 \(PB\perp\) 平面 \(ABCD\).

(II).求直线 \(PC\) 与平面 \(PDM\) 所成角的正弦值.

解：因为 \(PB\perp\) 平面 \(ABCD\), \(AB\subsetneqq\) 平面 \(ABCD\), \(AD\subsetneqq\) 平面 \(ABCD\),

所以 \(PB\perp AB\), \(PB\perp AD\).

因为四边形 \(ABCD\) 为正方形, 所以 \(AB\perp BC\).

如图建立空间直角坐标系 \(B-xyz\),

则 \(P(0,0,2)\), \(M(2,0,1)\), \(C(0,2,0)\), \(D(2,2,0)\)

\(\overrightarrow{PC}=(0,2,-2)\), \(\overrightarrow{PD}=(2,2,-2)\), \(\overrightarrow{P M}=(2,0,-1)\)

设平面 \(PDM\) 的法向量为\(\vec{\mu}=(x, y,z)\), \(\left\{\begin{array}{l}\vec{\mu} \cdot \overrightarrow{PD}=0 \\ \vec{\mu} \cdot \overrightarrow{PM}=0\end{array}\right.\)，

即\(\left\{\begin{array}{l}2x+2y-2z=0 \\ 2x-z=0\end{array}\right.\)，

令 \(z=2\)， 则 \(x=1\), \(y=-1\) ，于是 \(u=(1,1,2)\)，平面 \(PDM\) 的法向量为 \(\vec{\mu}=(1,1,2)\)，

设直线 \(PC\)与平面 \(PDM\) 所成的角为 \(\theta\)，所以 \(\sin\theta=\cfrac{\overrightarrow{PC}\cdot \vec{\mu}}{|\overrightarrow{PC}|\cdot|\vec{\mu}|}=\cfrac{\sqrt{3}}{6}\).

所以直线 \(PC\) 与平面 \(PDM\) 所成角的正弦值为 \(\cfrac{\sqrt{3}}{6}\).

典例剖析

【2018年全国卷Ⅰ第18题】如图，四边形\(ABCD\)为正方形，\(E\)，\(F\)分别为\(AD\)，\(BC\)的中点，以\(DF\)为折痕把\(\triangle DFC\)折起，使点\(C\)到达点\(P\)的位置，且\(PF\perp BF\)，

(1).证明：平面\(PEF\perp\)平面\(ABFD\)；

证明：由已知可得，\(BF\perp PF\)，\(BF\perp EF\)，

又\(PF\cap EF=F\)，\(PF\subseteq\)平面\(PEF\)，\(EF\subseteq\)平面\(PEF\)，

所以\(BF\perp\)平面\(PEF\)，又\(BF\subseteq\)平面\(ABFD\)，

所以平面\(PEF\perp\)平面\(ABFD\)；

(2).求\(DP\)与平面\(ABFD\)所成角的正弦值。

解：作\(PH\perp EF\)，垂足为\(H\)，由(1)得，\(PH\perp\)平面\(ABFD\)，以\(H\)为坐标原点，\(\overrightarrow{HF}\)的方向为\(y\)轴正方向，\(|\overrightarrow{BF}|\)为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系\(H-xyz\)，

由(1)得到，\(DE\perp PE\)，又\(DP=2\)，\(DE=1\)，所以\(PE=\sqrt{3}\)，

又\(PF=1\)，\(EF=2\)，所以\(PE\perp PF\)，可得\(PH=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(EH=\cfrac{3}{2}\)，

则\(H(0，0，0)\)，\(P(0，0，\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)，\(D(-1，-\cfrac{3}{2}，0)\)，

则\(\overrightarrow{DP}=(1，\cfrac{3}{2}，\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)，\(\overrightarrow{HP}=(0，0，\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)为平面\(ABFD\)的法向量，

设\(DP\)与平面\(ABFD\)所成角为\(\theta\)，则\(sin\theta=|cos<\overrightarrow{HP}，\overrightarrow{DP}>|=|\cfrac{\overrightarrow{HP}\cdot \overrightarrow{DP}}{|\overrightarrow{HP}||\overrightarrow{DP}|}|=\cfrac{\frac{3}{4}}{\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\)，

所以\(DP\)与平面\(ABFD\)所成角的正弦值为\(\cfrac{\sqrt{3}}{4}\)。

方法点评

对于具体的题目来说，究竟选择哪一种方法更好? 需要具体问题具体分析，根据题目所给的图形特征来确定：

若几何体容易作出线面角，则直接法是最佳选择；

若几何体不容易作出线面角，而比较容易建立坐标系和求相关点的坐标，则空间向量法是最佳选择；

若几何体不容易作出线面角，但能构造四面体用等体积法求斜线上一点到平面的距离，则利用公式\(\sin\theta=\cfrac{h}{l}\)也是比较不错的选择.