例说导数法作函数的图像

前言

做函数的图像，我们经历了三个层次：其一，描点法，描出函数图像上的好多点，然后连成光滑曲线，初高中常见的基本初等函数的图像都是以这样的思路和方式呈现给我们的，比如函数\(f(x)=2^x\)；其二，图像变换法，当我们有了一定的作图的经验和体会后，我们发现，有些函数的图像之间其实是有关联的，比如函数\(g(x)=2^{x-1}-1\)，所以我们先将函数\(f(x)\)的图像向右平移一个单位，得到函数\(y=2^{x-1}\)的图像，然后再将其向下平移一个单位，就得到了函数\(g(x)\)的图像，这样我们对函数图像的认知，就比以前大了许多；其三，导数法，虽说有了前两种图像的作图思路，但是我们能应对的函数还是很简单，很肤浅，如果碰到更复杂的函数，我们常常要倒吸一口凉气，比如函数\(f(x)=(x-2)\cdot e^x\)的图像，这时候就需要用到新的工具———导数法；

典例剖析

【此例说明曲线上的点的切线的斜率变化情况】求函数\(f(x)=x^3\)在点\((0,0)\)处的切线方程；

思路一：从数的角度，\(f'(x)=3x^2\)，故\(k=f'(0)=0\)，则切线方程为\(y-0=0(x-0)\)，即直线\(y=0\)，也即\(x\)轴；

思路二：从形的角度，如下图所示，

故函数\(f(x)=x^3\)在点\((0,0)\)处的切线方程为\(y=0\)；

【2020\(\cdot\)惠州市一调改编】已知函数\(f(x)=(x-2)\cdot e^x+a\)\((a\in R)\).

(1).试确定函数\(f(x)\)的零点个数；

分析：碰到这样的函数的零点个数问题，我们一般不应该想到通过解方程[从数的角度]来求解得到，原因是函数是个超越函数，其中含有\(e^x\)的因子，而应该想到通过形的角度思考，转化为两个函数的图像的交点个数问题。

解析：由 \(f(x)=0\) 得 \(a=(2-x)\cdot e^x\)，令 \(g(x)=(2-x)\cdot e^x\)，

则函数\(f(x)\) 的零点个数即直线 \(y=a\) 与曲线 \(g(x)=(2-x)\cdot e^x\) 的交点个数；

以下的难点和重点是如何作出函数\(g(x)\)的图像；由于函数的形式复杂，故想到用导数工具；

函数\(g(x)\)的定义域为\((-\infty,+\infty)\)，由于\(g'(x)=-1\cdot e^x+(2-x)\cdot e^x=(1-x)\cdot e^x\)，

由 \(g^{\prime}(x)>0\) 得 \(x<1\)， 故函数 \(g(x)\) 在 \((-\infty,1)\)上单调递增，

由 \(g^{\prime}(x)<0\) 得 \(x>1\)， 故函数 \(g(x)\) 在 \((1,+\infty)\)上单调递减，

由于\(x=1\) 时，函数 \(g(x)\) 有最大值， \(g(x)_{\max }=g(1)=e\)；

又当 \(x<2\) 时，\(g(x)>0\)，\(g(2)=0\)，当 \(x>2\) 时， \(g(x)<0\)，

作出函数 \(g(x)\) 的大致图像如图所示，

由图像可知，

当\(a\leqslant 0\)时，函数\(y=a\)与函数\(g(x)\)的交点个数为一个，故函数\(f(x)\)的零点个数为一个；

当\(0<a<e\)时，函数\(y=a\)与函数\(g(x)\)的交点个数为两个，故函数\(f(x)\)的零点个数为两个；

当\(a=e\)时，函数\(y=a\)与函数\(g(x)\)的交点个数为一个，故函数\(f(x)\)的零点个数为一个；

当\(a>e\)时，函数\(y=a\)与函数\(g(x)\)的交点个数为零个，故函数\(f(x)\)的零点个数为零个；

错因分析

以手工做函数\(g(x)=(2-x)\cdot e^x\)的图像为例，剖析作图中容易出现的错误：主要是直线\(x=1\)的左侧的图像出错

图①，只是上凸型的增长形式，注意到了在\((-\infty,1)\)上单调递增，但是没有注意到\(x<1\)时，\((2-x)\cdot e^x>0\)，图像不会出现在\(x\)轴的下方；

图②，规避了图①中的错误，但是按照其变化情况，当\(x\rightarrow -\infty\)时，图像仍然会有一部分出现在\(x\)轴的下方；

图③，只是下凹型的增长形式，也注意到了\(x<1\)时函数值为正，但是不能保证函数在所有点处都可导，具体来说，就是所作的函数图像在点\(x=1\)处是不可导的，故也是不符合题意的，

正确的作图方式，应该是图像\(x=1\)的左侧，以\(x\)轴为渐近线，图像在\(x\)轴的上方，且单调递增，故应该是\(x\in (-\infty,1)\)时，先呈现下凹式增长，然后转化为上凸型增长，故图像如红色所示；〗

总结反思：用导数法做函数的图像时，不仅仅需要注意单调性，还需要注意函数增长[或降低]方式，还要注意函数值的正负情况，函数图像的渐近线等情况，函数图像与坐标轴的交点情况等，需要综合考虑。一般来说，函数中包含有\(e^x\)，\(lnx\)等因子函数时需要特别注意。

用下图，说明函数的凹凸性；函数的凹凸性，也反应了函数图像变化的一种特点，它并不能直接反应单调性。

以函数单调递增为案例，常见的五种代表形式，主要依据函数的切线的变化情况来确定；

增长率逐渐增大型：如函数$y=m(x)$；

增长率逐渐减小型：如函数$y=n(x)$；

增长率恒定不变型：如函数$y=f(x)$；

增长率先慢后快型：如函数$y=g(x)$；

增长率先快后慢型：如函数$y=h(x)$；

对应练习

做函数 \(f(x)=x(2-x)e^x\) 的简图；

其他易错

\(f(x)=\cfrac{lnx}{x}\)，\(g(x)=\cfrac{e^x}{x}\)