探究|和事件的概率

前言

当事件\(A\)，\(B\)互斥时，\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)；

当事件\(A\)，\(B\)不互斥时，\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)；

当事件\(A\)，\(B\)相互独立时，\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)\)；\(P(A+B)=1-P(\bar{A})P(\bar{B})\)；

现有甲乙两台机器，已知甲出故障的概率为\(0.9\)，乙出故障的概率为\(0.85\)，两个同时出故障的概率为\(0.8\)，那么两台机器中至少有一台出故障的概率为多少？

【法1】：[网上解法，我们也认同这种解法]设“甲出故障”为事件\(A\)，“乙出故障”为事件\(B\)，

则\(P(A)=0.9\)，\(P(B)=0.85\)，\(P(AB)=0.8\)，则 \(A\)、\(B\) 不是相互独立的关系，

则“两台机器中至少有一台出故障”意味着甲机器出故障或者乙机器出故障，故可以表示为事件\(A+B\)，

由于事件\(A\)，\(B\)不是互斥关系，故\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)

故\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.85-0.8=0.95\)；

【法2】：[网上解法，是错误的解法，但是很容易滑入这样的思路求解]

设“甲出故障”为事件\(A\)，“乙出故障”为事件\(B\)，则\(P(A)=0.9\)，\(P(B)=0.85\)，\(P(AB)=0.8\)，

由于甲、乙两台机器出故障相互独立，故事件\(A\)，\(B\)相互独立[此处已经出现错误，利用概率关系可知 \(A\)、\(B\) 不是相互独立的关系]，

则“两台机器中至少有一台出故障”意味着甲机器出故障或者乙机器出故障，故可以表示为事件\(A+B\)，

故\(P(A+B)=1-[1-P(A)][1-P(B)]=1-(1-0.9)(1-0.85)=0.985\)；这种解法是错误的，

【法3】：错误的解法，\(P(A+B)=P(\bar{A}B+A\bar{B}+AB)=P(\bar{A}B)+P(A\bar{B})+P(AB)\)

\(=(1-0.9)\cdot 0.85+0.9\cdot(1-0.85)+0.9\cdot 0.85=0.985\)；

错误原因：由于 \(A\)、\(B\) 不是相互独立的关系，则 \(\bar{A}\) 与 \(B\) 不是相互独立的关系， \(A\) 与 \(\bar{B}\) 不是相互独立的关系，故错误；

【解后反思】：①利用相互独立的充要条件\(P(A)P(B)=P(AB)\)，就可以判断两个事件的关系是否为相互独立的。

②当用加号相联得到事件\(A+B\)，并不意味着两个事件的关系就是互斥的，可能互斥，也可能不互斥，也可能相互独立；

③同理，用乘号相联得到的事件\(A\cdot B\)，并不意味着两个事件的关系就是相互独立的；