给出方式|关于正切值

前言

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有关正切值的给出方式

已知\(tan\theta=2\)，求\(\cfrac{sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

详解：\(\cfrac{sin2\theta-cos^2\theta}{1+sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\)\(=\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}=\cfrac{2\times 2-1}{2\times2^2+1}=\cfrac{1}{3}\)

【解后反思】1、分子分母都是关于\(sin\theta\)和\(cos\theta\)的二次齐次式时，给分子分母同除以\(cos^2\theta\)，转化为关于\(tan\theta\)的一元函数问题来求解，代值运算即可。2、 限定条件以简单变形形式给出。

在具体题目中，估计你的计算需要的正切值的给出方式，可以以任意一个数学素材的角度给出，比如以下的一些常见的给出方式：

• 已知\(\cfrac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}=2\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知\(\theta\)角的终边过点\((4a，-3a)(a>0)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知\(\theta\)角的终边在直线\(3x+4y=0\)上，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知如图，\(\tan\theta=AT\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知倾斜角为\(\theta\)的直线与直线\(x-3y+1=0\)垂直，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知倾斜角为\(\theta\)的直线与直线\(x-3y+1=0\)平行，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知\(\sin\theta=2\cos\theta\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知\(\tan2\theta=-\cfrac{4}{3}\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 若倾斜角为\(\theta\)的直线\(l\)与曲线\(y=x^4\)相切于点\((1，1)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知\(\sin(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cos(\cfrac{\pi}{6}+\theta)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知\(sin(\pi-\theta)=2sin(\cfrac{\pi}{2}+\theta)\)，求\(\cfrac{sin2\theta-cos^2\theta}{1+sin^2\theta}\)的值。

• 已知直线\(2x-y-1=0\)的倾斜角为\(\theta\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知点\((\theta，0)\)为函数\(f(x)=sinx+2cosx\)图像的一个对称中心即\(f(\theta)=0\)，即\(\sin\theta\)\(+\)\(2\cos\theta\)\(=\)\(0\)，则\(\tan\theta\)\(=\)\(-2\)；\(\quad\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)与直线\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)垂直，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 已知直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)与直线\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)平行，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。

• 以双曲线的渐近线的夹角形式给出^[1]

• 利用过两点的坐标，

• 利用导函数\(k=f'(x_0)\)给出，

如若倾斜角为\(\alpha\)的直线\(l\)与曲线\(y=x^4\)相切于点\((1，1)\)，则\(k=tan\alpha=y'|_{x=1}=4x^3|_{x=1}=4\)。

• 利用函数的切线的方向向量的坐标。

如函数\(f(x)=x^3+ax^2+5\)在点\(x=1\)处的切线的方向向量为\((-2,-6)\)，则可知\(f'(x)|_{x=1}=\cfrac{-6}{-2}=3\)，

说明：直线的斜截式为\(y=kx+b\)，则其方向向量\(\overrightarrow{s}=(1，k)\)，或\(\overrightarrow{s}=(1，-\cfrac{A}{B})\)，

典例剖析

【2021届宝鸡市质检3文科第4题】【恒等变形中的思路选择】已知 \(\cfrac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}=4\)，则\(\cos2\theta\)=【\(\quad\)】

$A.-\cfrac{3}{5}$ $B.\cfrac{8}{17}$ $C.-\cfrac{8}{17}$ $D.-\cfrac{8}{17}或\cfrac{8}{17}$

解析：由 \(\cfrac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}=4\)，解方程得到， \(\tan\theta=-\cfrac{3}{5}\)，

又 \(\cos2\theta=\cfrac{\cos^2\theta-\sin^2\theta}{1}=\cfrac{\cos^2\theta-\sin^2\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\cfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}\)

将 \(\tan\theta=-\cfrac{3}{5}\)代入上式，求得 \(\cos2\theta=\cfrac{8}{17}\)，故选 \(B\).

【2021届宝鸡市质检3理科第11题】【恒等变形中的思路选择】已知 \(\cfrac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}+\cfrac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}=4\)，则\(\cos2\theta\)=【\(\quad\)】

$A.\cfrac{3}{5}$ $B.\cfrac{4}{5}$ $C.\cfrac{1}{2}$ $D.\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

法1：设 \(\cfrac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}=k\)，则 \(\cfrac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}=\cfrac{1}{k}\)，

则原条件即 \(k+\cfrac{1}{k}=4\)，先解得 \(\cfrac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}=k=?\)，这样的变形就落后一些，舍弃；

法2：将已知条件通分，整理得到，\(\cfrac{1+\tan^2\theta}{1-\tan^2\theta}=2\)，解得 \(\tan^2\theta=\cfrac{1}{3}\)，

代入 \(\cos2\theta=\cfrac{\cos^2\theta-\sin^2\theta}{1}=\cfrac{\cos^2\theta-\sin^2\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\cfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\cfrac{1}{2}\). 故选 \(C\).

若直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)与直线\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)垂直，求值\(sin2\theta\)=____________.

法1：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的斜率\(k_1=-\cfrac{\cos\theta}{2}\)，

直线\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)的斜率\(k_2=-\cfrac{3}{\sin\theta}\)，

由两条直线相互垂直可知，\(k_1\times k_2=-1\)，即\((-\cfrac{\cos\theta}{2})(-\cfrac{3}{\sin\theta})=-1\)

则可以得到，\(\tan\theta=-\cfrac{3}{2}\)，

而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，

则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times (-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2+1}=-\cfrac{12}{13}\).

法2：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的方向向量为\(\vec{u}=(-\cos\theta，2)\)，

直线\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)的方向向量为\(\vec{v}=(-3，\sin\theta)\)，

由两条直线相互垂直可知，\(\vec{u}\cdot \vec{v}=0\)，即\((-\cos\theta)\times (-3)+2\times\sin\theta=0\)

则可以得到，\(2\sin\theta+3\cos\theta=0\)，即\(\tan\theta=-\cfrac{3}{2}\)，

而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，

则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times (-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2+1}=-\cfrac{12}{13}\).

[上例变式]若直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)与直线\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)平行，求值\(sin2\theta\)=____________.

法1：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的斜率为\(k_1=-\cfrac{\cos\theta}{2}\)，

直线\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)的斜率\(k_2=-\cfrac{\sin\theta}{3}\)，

由两条直线相互平行可知，\(k_1=k_2\)，即\(-\cfrac{\cos\theta}{2}=-\cfrac{\sin\theta}{3}\)

则可以知道，\(\tan\theta=\cfrac{3}{2}\)，

而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，

则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2+1}=\cfrac{12}{13}\).

法2：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的方向向量为\(\vec{u}=(-\cos\theta，2)\)，

直线\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)的方向向量为\(\vec{v}=(-\sin\theta，3)\)，

由两条直线相互平行可知，\(\vec{u}//\vec{v}\)，即\(-3\cos\theta-2(-\sin\theta)=0\)

则可以得到，即\(\tan\theta=\cfrac{3}{2}\)，

而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，

则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2+1}=\cfrac{12}{13}\).

对应练习

【2016年宝鸡市质检Ⅱ理科数学第6题】已知向量\(\vec{a}=(\cos\alpha,-2)\)，向量\(\vec{b}=(\sin\alpha,1)\)，且\(\vec{a}\)//\(\vec{b}\)，则\(2\sin\alpha\cos\alpha\)等于【】

$A.3$ $B.-3$ $C.-\cfrac{4}{5}$ $D.\cfrac{4}{5}$

分析：由\(\vec{a}\)//\(\vec{b}\)，则可知\(\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\cfrac{1}{-2}\)，即\(\tan\alpha=-\cfrac{1}{2}\)，其余仿上完成，选\(C\)。

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1. 【2018宝鸡市二检】双曲线\(\cfrac{y^2}{4}-x^2=1\)的渐近线所夹的角中的锐角为\(\alpha\)，求\(cos2\alpha\)的值。
   分析：由题目可以知道，其渐近线为\(y=\pm 2x\)，
   取其一\(y=2x\)，则其倾斜角为\(\theta\)，可知\(tan\theta=2\)，
   求\(tan\alpha\)的思路之一：
   又知道\(\theta+\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\theta=\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\alpha}{2}\)，带入上式得到，
   \(tan\theta=tan(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\alpha}{2})=cot\cfrac{\alpha}{2}=2\)，即\(cot\cfrac{\alpha}{2}=2\)，
   则\(tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1}{2}\)，由\(tan\alpha=\cfrac{2tan\cfrac{\alpha}{2}}{1-tan^2\cfrac{\alpha}{2}}\)得到，\(tan\alpha=\cfrac{4}{3}\)。
   求\(tan\alpha\)的思路之二：
   用三角函数的定义，在\(y=2x\)上取点\((1，2)\)，\(tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1}{2}\)，
   由\(tan\alpha=\cfrac{2tan\cfrac{\alpha}{2}}{1-tan^2\cfrac{\alpha}{2}}\)得到，\(tan\alpha=\cfrac{4}{3}\)。
   到此，题目转化为已知\(tan\alpha=\cfrac{4}{3}\)，求\(cos2\alpha=？\)的值。
   \(cos2\alpha=\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha+sin^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=-\cfrac{7}{25}\)。 ↩︎