三角函数公式关系梳理
前言
同角公式
平方关系:[1]
商数关系:
- 同角三角函数基本关系公式,强调的是
同角
,只要角的形式相同即可,比如\(\sin^2(2x+\cfrac{\pi}{3})+\cos^2(2x+\cfrac{\pi}{3})=1\)一定成立,但是 \(\sin^2(2x+\cfrac{\pi}{3})+\cos^2(2x+\cfrac{\pi}{6})=1\)就不一定成立。
诱导公式
公式 | 一[角的终 边相同] |
二[关于原 点对称] |
三[关于\(x\) 轴对称] |
四[关于\(y\) 轴对称] |
五[关于直线 \(y=x\)对称] |
六[旋转\(\cfrac{\pi}{2}\) 的对称性[2]] |
---|---|---|---|---|---|---|
角的大小 | \(2k\pi+\alpha\) | \(\pi+\alpha\) | \(-\alpha\) | \(\pi-\alpha\) | \(\cfrac{\pi}{2}-\alpha\) | \(\cfrac{\pi}{2}+\alpha\) |
正弦\(\Rightarrow\sin\) | \(sin\alpha\) | \(-sin\alpha\) | \(-sin\alpha\) | \(sin\alpha\) | \(cos\alpha\) | \(cos\alpha\) |
余弦\(\Rightarrow\cos\) | \(cos\alpha\) | \(-cos\alpha\) | \(cos\alpha\) | \(-cos\alpha\) | \(sin\alpha\) | \(-sin\alpha\) |
正切\(\Rightarrow\tan\) | \(tan\alpha\) | \(tan\alpha\) | \(-tan\alpha\) | \(-tan\alpha\) | \(\cot\alpha\)最后两个诱导公式不要求掌握; | \(-\cot\alpha\) |
记忆口诀 | 函数名不变 符号看象限 |
函数名不变 符号看象限 |
函数名不变 符号看象限 |
函数名不变 符号看象限 |
函数名改变 符号看象限 |
函数名改变 符号看象限 |
[解释]诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.
(1)“奇”“偶”指的是“\(k\cdot\cfrac{\pi}{2}+α(k∈Z)\)”中的\(k\)是奇数还是偶数;“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若\(k\)是奇数,则正、余弦互变,若\(k\)为偶数,则函数名称不变.
(2)“符号看象限”指的是在“\(k\cdot\cfrac{\pi}{2}+α(k∈Z)\)”中,将\(α\)看成锐角时,“\(k\cdot\cfrac{\pi}{2}+α(k∈Z)\)”的终边所在的象限.
和差角公式
关系梳理
- 和差角公式是诱导公式的拓展,诱导公式是和差角公式的特例;二者是特殊与一般的关系。以 \(C_{(\alpha-\beta)}\)为例,
举例说明:当\(sin(\alpha+\beta)\)中涉及到的角比较特殊时,比如\(\alpha=\cfrac{3\pi}{2}\)时,我们走诱导公式这条线比较快捷,即\(sin(\alpha+\beta)=sin(\cfrac{3\pi}{2}+\beta)=-cos\beta\);
当涉及到的角非常一般时,我们只能走和差角公式这条线,即\(sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\cdot cos\beta+cos\alpha\cdot sin\beta\);
- 三角形中的三角函数关系,其实质是诱导公式在三角形中的应用;
\(sin(A+B)=sin(\pi-C)=sinC\),\(cos(A+B)=cos(\pi-C)=-cosC\),
\(sin\cfrac{A+B}{2}=sin(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=cos\cfrac{C}{2}\),\(cos\cfrac{A+B}{2}=cos(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=sin\cfrac{C}{2}\),
应用注意
- 互通
由诱导公式我们知道,\(sin(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)=cos\alpha\);
由和差角公式我们知道,以下的使用也是正确的,
\(sin(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)=sin\cfrac{\pi}{2}cos\alpha-cos\cfrac{\pi}{2}sin\alpha=cos\alpha\);
但是二者学习成本相比,记住诱导公式的结论,非常有必要;
- 不互通,下列公式中的\(\alpha\),\(\beta\),\(\alpha-\beta\)都受限,需要\(\neq k\pi+\cfrac{\pi}{2}\);
\(tan(\alpha-\beta)=\cfrac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha\cdot tan\beta}\),
所以以下的变形是错误的,应该避免:
\(tan(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cfrac{tan\cfrac{\pi}{2}-tan\alpha}{1+tan\cfrac{\pi}{2}\cdot tan\alpha}\)
正确的变形应该是用诱导公式:\(\tan(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cfrac{1}{\tan\alpha}=\cot\alpha\);
典例剖析
分析:由题可知,\(sinC=\cfrac{4}{5}\),\(cosC=\cfrac{3}{5}\),
在\(\triangle BCD\)中,由正弦定理可知,\(\cfrac{BD}{sinC}=\cfrac{3}{sin60^{\circ}}\),解得\(BD=\cfrac{8\sqrt{3}}{5}\);
\(cos\angle CBD=cos[\pi-(\angle BDC+\angle ACB)]=-cos(\angle BDC+\angle ACB)\)
\(=-cos60^{\circ}\cdot cos\angle ACB+\)\(sin60^{\circ}\cdot sin\angle ACB\)
\(=-\cfrac{3}{10}+\cfrac{4\sqrt{3}}{10}=\cfrac{4\sqrt{3}-3}{10}\).
解后反思:如果利用余弦定理求解\(AD\),再用正弦定理求解\(sin\angle ABD\),利用\(cos \angle CBD=sin\angle ABD\),从而求得\(cos \angle CBD\),这样的运算会很复杂。这个题目的求解也从另一个角度说明了公式\(cos(\alpha+\beta)\)存在的必要性。
注意公式的变形形式,加减开方等变形,如 \(\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\), \(\sin\theta=\pm\sqrt{1-\cos^2\theta}\),乘除等变形,如 \(\cfrac{\cos^2\theta}{1-\sin^2\theta}\)\(=\)\(1\),\(\cfrac{\cos\theta}{\sin\theta-1}\)\(\cdot\)\(\cfrac{\cos\theta}{\sin\theta+1}\)\(=\)\(-1\),同样的思路,也可以表达商数关系,如分式变整式,\(\sin\theta=\cos\theta\cdot\tan\theta\)。 ↩︎
或是两次轴对称刻画,首先关于\(y=x\)对称,得到角\(\cfrac{\pi}{2}-\alpha\),再将得到的角关于\(y\)轴对称,就得到了角\(\cfrac{\pi}{2}+\alpha\);或用一次旋转刻画,将角\(\alpha\)逆时针旋转\(\cfrac{\pi}{2}\),就得到角\(\cfrac{\pi}{2}+\alpha\) . ↩︎