关于数学素养的思考
从教学实践的角度总结，关于数学素养的一些思考。
前言
- 高中阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。 数学核心素养是数学素养中最重要的思维品质和关键能力，是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所必备的品质与能力，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。
数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。
一般认为，“素养与知识（或认知）、能力（或技能）、态度（或情意）等概念的不同在于，它强调知识、能力、态度的统整，超越了长期以来知识与能力二元对立的思维方式，凸显了情感、态度、价值观的重要，强调了人的反省思考及行动与学习。”“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的公民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。”可见，数学素养是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可以是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养可以从数学的角度看待问题，可以用数学的思维方法思考问题，可以用数学的方法解决问题。
比如，人们在超市购物时常常发现这样的情境，收银台前排了长长的队等待结账，而只买一两样东西的人也同样和买一车东西的人排队等候。有位数学家马上想到，能否考虑给买东西少的人单独设一个出口，这样可以免去这些人长时间的等候，会大大提高效率。那么问题就出现了，什么叫买东西少，1件、2件、3件或4件，上限是多少？因此，会想到用统计的方法，收集不同时段买不同件数东西人的数量，用这个数据可以帮助人们做出判断。在这个过程中，具有数感的人会有意识地把一些事情与数和数量建立起联系，认识到排队结账这件事中有数学问题，人们买东西的数量（个数）与结账的速度有关系。
从这个例子中可以了解到，具备数学素养可能有助于人们在具体的情境中发现问题、提出问题和解决问题。而这个情境本身可能并非有明显的数学问题。
核心素养是个体在解决复杂的现实问题过程中表现出来的综合性能力。核心素养不是简单的知识或技能，它是以学科知识技能为基础，是整合了情感、态度或价值观在内的，能够满足特定现实需求的综合性表现。不难看出，核心素养关注的是后天教育的结果，它有别于一个人潜在的能力。 而学科核心素养是核心素养在特定学科（或学习领域）的具体化，是学生学习一门学科（或特定学习领域）之后所形成的、具有学科特点的关键成就，是学科育人价值的集中体现。
新的课程标准中，给出了数学学科核心素养的六个主要方面，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析，并从概念的界定、及其在数学与生活中的作用和意义方面进行了描述。
如在数学核心素养之一的数学抽象中，便指出数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。给出数学抽象的作用是使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。数学抽象的意义，在于它是形成理性思维的重要基础。
暂记录思路如下
新定义习题；构造函数；构造数列；分离参数法使得问题转化为求函数的最值问题。
数学思维
我们学习过求解这样的题目，使用换元法求解的。
如已知\(f(x)+2f(-x)=2x+3\)，求\(f(x)\)的解析式；
再如已知\(3f(x)+f(\cfrac{1}{x})=x\)，求\(f(x)\)的解析式。
由\(ax^2+bx+c>0\)的解集为\((-1，2)\)，得到\(a(-x)^2+b(-x)+c>0\)的解集为\((-2，1)\)，
即关于\(x\)的不等式\(ax^2-bx+c>0\)的解集为\((-2，1)\)。
参考上述解法，若关于\(x\)的不等式\(\cfrac{k}{x+a}+\cfrac{x+b}{x+c}<0\)的解集为\((-1，-\cfrac{1}{3})\cup(\cfrac{1}{2}，1)\)，则关于\(x\)的不等式\(\cfrac{kx}{ax+1}+\cfrac{bx+1}{cx+1}<0\)的解集为________.
分析：对题目中内容的解析，由于\(ax^2+bx+c>0\)的解为\(-1<x<2\)，即解集为\((-1，2)\)；
故当给上述内容用\(-x\)替换\(x\)时，不等式中和解集中的\(x\)都必须替换；
则得到\(a(-x)^2+b(-x)+c>0\)的的解为\(-1<-x<2\)，即解集为\((-2，1)\)，
即关于\(x\)的不等式\(ax^2-bx+c>0\)的解集为\((-2，1)\)。
解析：本题目对学生的思维的灵活性要求比较高，需要有一定的数学素养的储备。
关于\(x\)的不等式\(\cfrac{k}{x+a}+\cfrac{x+b}{x+c}<0\)的解集为\(x\in (-1，-\cfrac{1}{3})\cup(\cfrac{1}{2}，1)\)，
所以用\(\cfrac{1}{x}\)同时代换原不等式和其对应解集中的\(x\)，
则不等式\(\cfrac{k(\cfrac{1}{x})}{a(\cfrac{1}{x})+1}+\cfrac{b(\cfrac{1}{x})+1}{c(\cfrac{1}{x})+1}<0\)的解为\(-1<\cfrac{1}{x}<-\cfrac{1}{3}\)或\(\cfrac{1}{2}<\cfrac{1}{x}<1\)，
上述不等式整理得到，\(\cfrac{kx}{ax+1}+\cfrac{bx+1}{cx+1}<0\)
上述的解集整理得到，\(-3<x<-1\)或\(1<x<2\)，
即就是\(x\)的不等式\(\cfrac{kx}{ax+1}+\cfrac{bx+1}{cx+1}<0\)的解集为\((-3，-1)\cup(1，2)\)。
感悟思考：本题目的求解不是常规的求各个系数的值，然后按照常规解不等式，而是巧妙运用代换法求解，即将解集代换，将不等式代换。
仿学生口吻的问题：暂时记录个思路，待后思考整理。
1、上述题目明显不是用数学方法能解决的，而是用数学思维和数学素养了，那么这些东西在平时怎么训练？
2、如何运用，如何强化？
分析：作差构造函数，设\(F(x)=f(x)-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{1}{2}\)，则\(F′(x)=f′(x)-\cfrac{1}{2}\)，
因为\(f′(x)<\cfrac{1}{2}\)，所以\(F′(x)=f′(x)-\cfrac{1}{2}<0\)，即函数\(F(x)\)在\(R\)上为减函数，
这样原不等式\(f(x)<\cfrac{x}{2}+\cfrac{1}{2}\)，就等价转化为\(F(x)<0\)，
又由于\(F(1)=f(1)-\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}=0\)，[这一步完成了常数的函数化]
故\(F(x)<0\)可等价转化为\(F(x)<F(1)\)，由于在\(R\)上为减函数，
故得到\(x>1\)，即\(x\in (1，+\infty)\)。
解后反思：①题目中给定的定义域是在求解不等式时限制自变量整体用的；②给定的\(f(1)=1\)是为了完成常数的函数化准备的；③题目中给定的\(f′(x)<\cfrac{1}{2}\)是为了求导判断新函数的单调性准备的；④构造出新函数后，我们需要将原不等式转化为依托于新函数的不等式，若里面包含常数，则将常数函数化为形如\(f(M)<(\leqslant ，\geqslant )f(N)\)的形式；⑤要去掉对应法则\(f\)，则需要考虑定义域和单调性；
分析：作差构造函数，设\(F(x)=f(x)-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{1}{2}\)，则\(F′(x)=f′(x)-\cfrac{1}{2}\)，
因为\(f′(x)<\cfrac{1}{2}\)，所以\(F′(x)=f′(x)-\cfrac{1}{2}<0\)，即函数\(F(x)\)在\(R\)上为减函数，
这样原不等式\(f(x^2)<\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{1}{2}\)，就等价转化为\(F(x^2)<0\)，
又由于\(F(1)=f(1)-\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}=0\)，[这一步完成了常数的函数化]
故\(F(x^2)<0\)可等价转化为\(F(x^2)<F(1)\)，由于在\(R\)上为减函数，
故得到\(x^2>1\)，解得\(x<-1\)或\(x>1\)，即\(x\in(-\infty，-1)\cup(1，+\infty)\)，
解后反思：很显然，\(x\Leftrightarrow x^2\)
分析：很显然，\(|lnx|\Leftrightarrow x\)，故\(|lnx|>1\)，
解得\(0<x<\cfrac{1}{e}\)或\(x>e\)；即\((0,\cfrac{1}{e})\cup(e,+\infty)\)；
但是你有没有想过，这样的\(x\)或许还可以是式子，比如\(|x|^2-3|x|+2<0\)，
那么比照上面的解法，只是用\(|x|\)替换了\(x\)，我们肯定能得到\(1<|x|<2\)，
然后问题转化为解绝对值不等式，\(1<|x|<2\)，得到解集为\(1<x<2\)或\(-2<x<-1\)；
由\(|x|<1\)得到\(-1<x<1\)，那么由\(|2|x|-1|<1\)，能得到什么？\(-1<2|x|-1<1\)，即\(0<2|x|<2\)，即\(0<|x|<1\)，解得\(-1<x<0\)或\(0<x<1\)；
那么下面的不等式你会解吗？
\(e^{2x}-3e^x+2<0\)； \(e^x\longrightarrow x\)
\(log_2^2x-3log_2x+2<0\)；\(log_2x\longrightarrow x\)
\((sinx+1)^2-3(sinx+1)+2<0\)；\(sinx+1\longrightarrow x\)
\(x^4-3x^2+2<0\)；\(x^2\longrightarrow x\)
思路1：用待定系数法，求得\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)，然后再求解\(f(10)+f(-6)\)的值，
由题目可知，\(\left\{\begin{array}{l}{f(1)=1^4+a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=10}\\{f(2)=2^4+a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2+d=20}\\{f(3)=3^4+a\cdot 3^3+b\cdot 3^2+c\cdot 3+d=30}\end{array}\right.\)
但是由方程理论可知，要想求解\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)四个元的具体值，需要四个相互独立的方程组成的方程组，才可以求解。[1]
故这个思路受阻，只能换用其他的思路了，不过可以考虑用一个元来表达其他元的方法，以减少未知系数的个数，达到变量集中的效果，故有了如下的思路；
思路2：变量集中策略，由\(\left\{\begin{array}{l}{f(1)=1^4+a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=10}\\{f(2)=2^4+a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2+d=20}\\{f(3)=3^4+a\cdot 3^3+b\cdot 3^2+c\cdot 3+d=30}\end{array}\right.\)
得到[求解过程略]，\(b=-6a-25\)，\(c=11a+70\)，\(d=-6a-36\)，
则\(f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d=x^4+ax^3+(-6a-25)x^2+(11a+70)x+(-6a-36)\)，
然后带着仅有的系数\(a\)运算，从而最后恰好约掉了系数\(a\)，
从而求得\(f(10)+f(-6)=\cdots=8104\)；
思路3：采用函数与方程思想，这个思路对思维的要求很高；
由于\(\left\{\begin{array}{l}{f(1)=1^4+a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=10}\\{f(2)=2^4+a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2+d=20}\\{f(3)=3^4+a\cdot 3^3+b\cdot 3^2+c\cdot 3+d=30}\end{array}\right.\)
变形为\(\left\{\begin{array}{l}{1^4+a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d-10\times 1=0}\\{2^4+a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2+d-10\times 2=0}\\{3^4+a\cdot 3^3+b\cdot 3^2+c\cdot 3+d-10\times 3=0}\end{array}\right.\)
以上三个式子合一，即\(x=1\)和\(x=2\)和\(x=3\)都是方程\(x^4+a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d-10\times x=0\)的根，
即\(x=1\)和\(x=2\)和\(x=3\)都是方程\(f(x)-10x=0\)的根，又由于\(f(x)\)的最高次为\(4\)次，
则方程\(f(x)-10x=0\)应该有四个根，设第四个根为\(m\)，
故构造函数\(g(x)=f(x)-10x\)，则\(x=1\)和\(x=2\)和\(x=3\)和\(x=m\)是函数\(g(x)\)的四个零点；
故\(g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)\)，即\(f(x)-10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)\)，
故\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)+10x\)，将\(x=10\)和\(x=-6\)代入，
得到\(f(10)=(10-1)(10-2)(10-3)(10-m)+10\times 10\)，\(f(-6)=(-6-1)(-6-2)(-6-3)(-6-m)+10\times (-6)\)；
两式相加，得到\(f(10)+f(-6)=8104\)；
法1：根据题意，设等比数列\(\{a_{n}\}\)的公比为\(m\)，等比数列\(\{b_{n}\}\)的公比为\(q\)，
当\(n=1\)时，有\(\cfrac{S_{1}}{T_{1}}=\cfrac{a_{1}}{b_{1}}=\cfrac{4}{3}\)；
当\(n=2\)时，有\(\cfrac{S_{2}}{T_{2}}=\cfrac{a_{1}+a_{2}}{b_{1}+b_{2}}=\cfrac{a_{1}(1+m)}{b_{1}(1+q)}=\cfrac{4}{5}\)，则有 \(\cfrac{1+m}{1+q}=\cfrac{3}{5}\)；①
当\(n=3\)，有\(\cfrac{S_{3}}{T_{3}}=\cfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{b_{1}+b_{2}+b_{3}}=\cfrac{a_{1}(1+m+m^{2})}{b_{1}(1+q+q^{2})}=\cfrac{4}{9}\)，则有\(\cfrac{1+m+m^{2}}{1+q+q^{2}}=\cfrac{1}{3}\)，②
联立①②可得: \(m=2\)，\(q=4\)，
则\(\cfrac{a_{2}}{b_{2}}=\cfrac{a_{1}\times m}{b_{1}\times q}=\cfrac{a_{1}}{b_{1}}\times\cfrac{m}{q}=\cfrac{2}{3}\)
故答案为：\(\cfrac{2}{3}\)；
法2：由\(\cfrac{S_n}{T_n}=\cfrac{4}{2^n+1}=\cfrac{4(2^n-1)}{(2^n+1)(2^n-1)}=\cfrac{4(2^n-1)}{4^n-1}\)，
令\(S_n=4k(2^n-1)\)，\(T_n=k(4^n-1)\)，\(k\neq 0\)，
则当\(n\geqslant 2\)时，\(a_n=S_n-S_{n-1}=4k(2^n-1)-4k(2^{n-1}-1)=k\cdot 2^{n+1}\)，
\(b_n=T_n-T_{n-1}=k(4^n-1)-k(4^{n-1}-1)=3k\cdot 4^{n-1}\)，
则\(\cfrac{a_2}{b_2}=\cfrac{k\cdot 2^3}{3k\cdot 4}=\cfrac{2}{3}\)；
法2点评：此法是利用了等比数列的\(S_n=Aq^n-A=B-Bq^n\)，所以用时好，正确率高，其实利用思路2还可以将题目的条件弱化为不提示等比数列来求解；因为其解法本质是利用了\(S_n\)的定义式。
分析：令\(g(x)=(x+1)(x+2)\cdots (x+2013)\)，则\(f(x)=x\cdot g(x)\)，
则\(f'(x)=g(x)+x\cdot g'(x)\)，故\(f'(0)=g(0)+0\cdot g'(0)=1\times 2\times 3\times \cdots \times 2013\)；
如何理解相互独立的方程，比如\(x+2y=3\)，与\(2x+4y=6\)就不是相互独立的方程，而是对应系数成比例的方程，这样的两个方程联立在一起，根本不能解出两个未知元的具体值，只能得到两个元之间的关系，比如\(x=3-2y\)； ↩︎
