二项分布

前言

数学模型

• 二项分布

一般地，在\(n\)次独立重复试验中，设事件\(A\)发生的次数为\(X\)，每次试验中事件\(A\)发生的概率为\(p\)，则事件\(A\)恰好发生 \(k\) 次的概率为\(P(X=k)\)\(=\)\(C_n^k\)\(\cdot\)\(p^k\)\(\cdot\)\((1-p)^{n-k}\)，(\(k=0，1，2，\cdots，n\))，此时称随机变量 \(X\) 服从二项分布，记为 \(X\sim B(n，p)\)，并称 \(p\) 为成功概率注意，此处的成功仅仅是个抽象的叫法，在具体的问题中其含义可能各不相同，比如在射击问题中，若将射中理解为成功，则没有射中就是失败，或者失败就意味着没有射中；再比如考察电路中的灯泡问题，若灯泡正常发光理解为成功，则灯泡不发光就是失败了。 。

解释：二项展开式\([p+(1-p)]^n=1\)中，事件\(A\)发生\(k\)次，即对应展开式中的含\(p^k\)的项，其为\(C_n^k\)\(\cdot\)\(p^k\)\(\cdot\)\(C_{n-k}^{n-k}\)\(\cdot\)\((1-p)^{n-k}\)[解读，即从 \(n\) 次中任取 \(k\) 次成功，即\(p\cdots p=p^k\)，然后从剩余的 \(n-k\) 次中任取 \(n-k\) 次失败，即\((1-p)\cdots(1-p)=(1-p)^{n-k}\)，]，即\(P(X=k)\)\(=\)\(C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，

性质[需记忆]： 若随机变量\(X\)服从二项分布，记为\(X\sim B(n，p)\)，则\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)；

应用实例

温馨提示：仔细研读下述的教材中的例子，可以很好的理解二项分布，也能更容易的建立贝努里概型。

①一个狙击手连续射击 \(10\) 次，每次中 \(10\) 环的概率都是 \(0.98\) ，则其击中 \(10\) 环的次数服从二项分布；

② \(10\) 个狙击手各射击 \(1\) 次，每人击中 \(10\) 环的概率都是 \(0.95\) ，则其击中 \(10\) 环的人数服从二项分布；

③抛掷\(n\)枚相同的骰子，\(X\)为出现点数为 \(1\) 的骰子数；则\(X\sim B(n，\cfrac{1}{6})\)；

④\(n\)个新生婴儿，\(X\)为男婴的个数，则\(X\sim B(n，\cfrac{1}{2})\)；

⑤某产品的次品率为\(p\)，\(X\)为\(n\)个产品中的次品数，\(X\sim B(n，p)\)；

⑥女性患色盲的概率为\(0.25\%\)，\(X\)为任取\(n\)个女人中患色盲的人数，\(X\sim B(n，0.25\%)\)；

⑦吊灯上并联着5个灯泡，每个正常工作的概率都是0.7，则正常工作的灯泡数\(X\sim B(5，0.7)\)；

⑧用户购买100件某产品，该产品的质量指标值位于\((187.7，212.2)\)之间的概率都是\(0.6826\)，\(X\)表示质量指标值位于\((187.7，212.2)\)之间的产品件数，则\(X\sim (100，0.6826)\)；

⑨从该市学生中随机选取5名学生，记\(\xi\)为身高在\((1.50，1.70)\)的学生人数，且身高在\((1.50，1.70)\)的频率为\(0.7\)，则\(\xi\sim (5，0.7)\)；

典例剖析

已知排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 \(3\) 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到 \(3\) 次为止. 设学生一次发球成功的概率为 \(p\)(\(0<p<1\)) ，发球次数为 \(X\) ，若 \(X\) 的数学期望 \(E(X)>1.75\) ，则 \(p\) 的取值范围是 【】

$A.(0, \cfrac{1}{2})$ $B.(\cfrac{1}{2},1)$ $C.(0, \cfrac{7}{12})$ $D.(\cfrac{7}{12},1)$

解析：由已知条件可得： 只发球一次成功，停止发球，则\(P(X=1)=p\)，

只发球两次第一次失败，第二次成功，发球结束，则 \(P(X=2)=(1-p)\times p\)，

只发球三次，要么前两次发球失败第三次发球成功发球结束，要么三次发球都失败发球结束，则\(P(X=3)=(1-p)^{2}\times p+(1-p)^{3}=(1-p)^{2}\)

则 \(E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)\)

\(=p+2(1-p)p+3(1-p)^{2}\)\(=\)\(p^{2}-3p+3>1.75=\cfrac{7}{4}\) ，

解得 \(p>\cfrac{5}{2}\) 或 \(p<\cfrac{1}{2}\) ，又由 \(p \in(0,1)\) ，可得 \(p\in(0,\cfrac{1}{2})\)， 故选 \(A\) .

解后反思：本题目容易错误的认为发球次数的随机变量 \(X\) 服从二项分布，这个理解是错误的，如下图所示；

通过上面的图示，我们能对贝努里概型有更深入的理解；

【2015高考湖南卷】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出 1个球，在摸出的 2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球,则不获奖。

(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；

解析： 记事件 \(A_{1}\) ={从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， \(A_{2}\) ={从乙箱中摸出的 1 个球是红球}，

\(B_{1}\) ={顾客抽奖 1 次获一等奖}， \(B_{2}\) ={顾客抽奖 1 次获二等奖}，\(C\) ={顾客抽奖 1 次能获奖}。

由题意， \(A_{1}\) 与 \(A_{2}\) 相互独立， \(A_{1}\bar{A_{2}}\) 与 \(\bar{A_{1}}A_2\) 互斥， \(B_{1}\) 与 \(B_{2}\) 互斥，

且 \(B_{1}\) = \(A_{1}\)\(A_{2}\)， \(B_{2}\) = \(A_{1}\bar{A_{2}}\) + \(\bar{A_{1}}A_2\) ， \(C\) = \(B_{1}\) + \(B_{2}\)，

因为 \(P(A_{1})=\cfrac{4}{10}=\cfrac{2}{5}\)，\(P(A_{2})=\cfrac{5}{10}=\cfrac{1}{2}\)，

所以\(P(B_ {1})=P(A_{1}A_{2})=P(A_ {1})P(A_ {2})= \cfrac{2}{5}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{5}\) ，

\(P\left(B_2\right)=P(A_1 \bar{A_2}+\bar{A_1} A_2)\)\(=P(A_1\bar{A_2})+P(\bar{A_1}A_2)\)\(=P\left(A_1\right) P(\bar{A_2})+P(\bar{A_1})P\left(A_2\right)\)

\(=P\left(A_1\right)\left[1-P\left(A_2\right)\right]+\left[1-P\left(A_1\right)\right] P\left(A_2\right)\)

\(=\cfrac{2}{5} \times\left(1-\cfrac{1}{2}\right)+\left(1-\cfrac{2}{5}\right) \times \cfrac{1}{2}\)

\(=\cfrac{1}{2}\)

故所求概率为：

\(P(C)=P\left(B_1+B_2\right)=P\left(B_1\right)+P\left(B_2\right)=\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{2}=\cfrac{7}{10}\) .

(2). 若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 \(X\)，求 \(X\) 的分布列和数学期望。

解析：顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验， 由(1)知， 顾客抽奖 1 次获一等奖的概 率为 \(\cfrac{1}{5}\)，

所以 \(X \sim B\left(3, \cfrac{1}{5}\right)\)，于是

\(P(X=0)=C_3^0\left(\cfrac{1}{5}\right)^0\left(\cfrac{4}{5}\right)^3=\cfrac{64}{125}\)，

\(P(X=1)=C_3^1\left(\cfrac{1}{5}\right)^1\left(\cfrac{4}{5}\right)^2=\cfrac{48}{125}\)，

\(P(X=2)=C_3^2\left(\cfrac{1}{5}\right)^2\left(\cfrac{4}{5}\right)^1=\cfrac{12}{125}\)，

\(P(X=3)=C_3^3\left(\cfrac{1}{5}\right)^3\left(\cfrac{4}{5}\right)^0=\cfrac{1}{125}\)，

故 \(X\) 的分布列为：

\(X\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(P\)	\(\cfrac{64}{125}\)	\(\cfrac{48}{125}\)	\(\cfrac{12}{125}\)	\(\cfrac{1}{125}\)

\(X\) 的数学期望为 \(E(X)=3\times\cfrac{1}{5}=\cfrac{3}{5}\) 。