数学公式的正向迁移

前言

具体迁移案例

• 理解迁移

已知实数\(a、b\)满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{a+b-2\ge 0}\\{b-a-1\leq 0}\\{a\leq 1}\end{array}\right.\)，求\(\cfrac{b}{a}\)的取值范围。

分析：可以这样迁移：\(a\rightarrow x\)，\(b\rightarrow y\)，即相当于我们平时做的这样的题目：

已知实数\(x、y\)满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{x+y-2\ge 0}\\{y-x-1\leq 0}\\{x\leq 1}\end{array}\right.\)，求\(\cfrac{y}{x}\)的取值范围。

【2017全国卷1文科19题高考真题】为了监控某种零件的一条生产线的流程，检验员每隔\(30min\)从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的\(16\)个零件的尺寸：

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸	09.95	10.12	09.96	09.96	10.01	09.92	09.98	10.04

抽取次序	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸	10.26	09.91	10.13	10.02	09.22	10.04	10.05	09.95

经计算得\(\bar{x}=\cfrac{1}{16}\cdot\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i}=9.97\) ，\(s=\sqrt{\cfrac{1}{16}\cdot\sum\limits_{i=1}^{16}{(x_i-\bar{x})^2}}\) \(=\sqrt{\cfrac{1}{16}(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i^2-16\bar{x}^2})}\approx 0.212\)，

\(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{16}{(i-8.5)^2}}\approx 18.439\)，\(\sum\limits_{i=1}^{16}{(x_i-\bar{x})(i-8.5)}=-2.78\)，

\(\Bigg[\) 附：样本\((x_i，y_i)(i=1，2，\cdots，n)\)的相关系数 \(r=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2}}}\)\(\Bigg]\)

（1）求\((x_i，i)(i=1，2，\cdots，16)\)的相关系数\(r\)，其中\(x_i\)为抽取的第\(i\)个零件的尺寸，\(i=1，2，\cdots，16\) ．并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小

（若\(|r|<0.25\) ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

分析：本题目的难点有：所给公式的正向迁移和破解，

比如\(i\rightarrow y_i\)，即表格中的第一行\(i=1，2，\cdots，16\)，故\(\bar{y_i}=\bar{i}=8.5\)，

这样第一问的计算就没有多大难度了，

\(|r|=\cfrac{|\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}|}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2}}}\)

\(=\cfrac{2.78}{0.212\times\sqrt{16}\times 18.439}\approx 0.18\)\(<0.25\).

故可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。

附：对于一组数据\((u_1，v_1)\)，\((u_2，v_2)\)，\(\cdots\)，\((u_n，v_n)\)，其回归直线\(v=\alpha+\beta u\)的斜率和截距的最小二乘估计分别为\(\hat{\beta}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(u_i-\bar{u})(v_i-\bar{v})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{(u_i-\bar{u})^2}}\)，\(\hat{\alpha}=\bar{v}-\hat{\beta}\bar{u}\)，

迁移得到如下：

一组数据\((x_1，y_1)，(x_2，y_2)，\cdots，(x_n，y_n)\)，线性回归直线方程为：\(\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}\)，

\(\hat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\)，\(\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\cdot\bar{x}\).

• 换元迁移

【背景：2015新课标Ⅰ第19题】

当给定\(\hat{y}=c+d\sqrt{x}\)，我们不见得能看出来怎么计算系数\(c\)和\(d\)，

但是当令\(\sqrt{x}=w\)后，得到回归直线方程\(\hat{y}=c+dw\)，

这时候应该能看出来，\(c=\hat{a}\)，\(d=\hat{b}\)。也就知道怎么套用公式了。

【背景：2019高三理科数学第二次月考第18题】

对线性回归方程中给定的比较大的数据做换元预处理后，我们就更能确信应该怎么使用公式了。

• 类比迁移

等比数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)，

则如果我们知道数列\(\{a_n+1\}\)是首项为2，公比为3的等比数列，则就可以类比计算得到

\(a_n+1=2\cdot 3^{n-1}\)，即\(a_n=2\cdot 3^{n-1}-1\)。

• 赋值迁移

已知\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)，

如果将上式中的\(b\)替换为\(-b\)，则得到

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

【2018山东济南历城二中一模】为了调查历城区城乡居民的生活水平，随机抽取了\(10\)个家庭，得到第\(i\)\((\)\(i\)\(=\)\(1\)\(,\)\(2\)\(,\)\(\cdots\)\(,\)\(10)\)个家庭月收入\(x_i\)(单位：千元)与月流动资金\(y_{i}\) (单位: 千元)的数据资料如下表，其中 \(\omega_{i}=\sqrt{x_{i}}\)，\(y\) 与 \(x\) 的函数模型 \(y=d+c\sqrt{x}\)，

\(\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10}y_{i}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10}\omega_{i}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}y_{i}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10} \omega_{i}y_{i}\)
\(720\)	\(20\)	\(80\)	\(196\)	\(184\)

(1).求方程 \(y=d+c\sqrt{x}\)；

(2).已知某家庭\(9\)月收入为\(9\)千元，该家庭计划用当月流动资金购置价格为\(499\)元的某品牌豆浆机，问计划能否成功?

\(\Big[\)附参考公式：线性回归直线为\(\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}\)，\(\widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b}\cdot\bar{x}\).\(\Big]\)

解：(1).由\(y\)与\(x\)满足函数模型 \(y=d+c\sqrt{x}\)， 则 \(y=d+c\omega\)，

\(\bar{\omega}=\cfrac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}\omega_{i}=8\)， \(\bar{y}=\cfrac{1}{10}\sum_\limits{i=1}^{10}y_{i}=2\)，

\(c=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{10}\omega_{i}y_{i}-10\times\bar{\omega}\cdot\bar{y}}{\sum\limits_{i=1}^{10}\omega_{i}^{2}-10\times{\bar{\omega}}^2}\)

\(=\cfrac{184-10\times 8\times2}{720-10\times8^{2}}=0.3\)，

则 \(d=\bar{y}-c\times\bar{\omega}=2-0.3\times 8=-0.4\)，

所以，\(\widehat{y}=-0.4+0.3\sqrt{x}\)，

(2). 由(1).可知，当 \(x=9\) 时, \(\widehat{y}=-0.4+0.3\times 3=0.5\)(千元)，所以 当某家庭\(9\)月收入为\(9\)千元时，该家庭的月流动资金为\(500\)元，大于\(499\)元，可以购置价格为\(499\)元的某品牌豆浆机.

备注：由于\(\omega_i=\sqrt{x_i}\)，故\(\omega_i^2=x_i\)，计算中，\(\sum\limits_{i=1}^{10}{\omega_i^2}=\sum\limits_{i=1}^{10}{x_i}=720\)。

等差数列的迁移

已知\(\{a_n\}\)为首项为1，公差为2的等差数列，则\(a_n=a_1+(n-1)\cdot d=1+2(n-1)=2n-1\)；

则由\(\cfrac{2}{a_{n+1}}-\cfrac{2}{a_n}=2\)，且\(a_1=1\)，则可知数列\(\{\cfrac{2}{a_n}\}\)为等差数列，公差为2，首项为\(\cfrac{2}{a_1}=2\)；

故可以得到\(\cfrac{2}{a_n}=\cfrac{2}{a_1}+(n-1)\cdot 2=2+2(n-1)=2n\)，

故\(\cfrac{2}{a_n}=2n\)，即\(a_n=\cfrac{2}{2n}=\cfrac{1}{n}\)。

变形迁移

由\(S_n-S_{n+1}=2S_{n+1}\cdot S_n\)，变形得到\(\cfrac{1}{S_{n+1}}-\cfrac{1}{S_n}=2\)，即数列\(\{\cfrac{1}{S_n}\}\)为首项为\(\cfrac{1}{S_1}=\cfrac{1}{a_1}\)，公差为2的等差数列；

则碰到\(a_n-a_{n+1}=3a_{n+1}\cdot a_n\)，也可以得到\(\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{1}{a_n}=3\)，即数列\(\{\cfrac{1}{a_n}\}\)为首项为\(\cfrac{1}{a_1}\)，公差为3的等差数列；