反证法

方法定义

一般地，假设原命题不成立， (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

适用范围

• 正难则反的情形；
• 正面情形多于反面情形；
• 常用于“至多”型、“至少”型命题、“唯一性”命题、“存在性”命题的证明。

推出矛盾

• 与题目的已知条件矛盾，
• 与已知的公理、定理、定义矛盾，
• 与临时假定矛盾
• 自相矛盾

否定形式

比如给定命题\(p\)：若\(x\ge 0\)且\(y\ge 0\)，则\(x+y\ge 0\)；

• 命题的否定，\(p\)的否定形式：若\(x\ge 0\)且\(y\ge 0\)，则\(x+y< 0\)；(假命题)
• 命题的否命题\(\neg p\)：若\(x<0\)或\(y<0\)，则\(x+y<0\)；(假命题)
• 常见的正面词语的否定形式

正面词语	否定	正面词语	否定	正面词语	否定
且	或	等于\(=\)	不等于\(\neq\)	大于>	不大于\(\leq\)
小于<	不小于\(\ge\)	是	不是	都是	不都是(至少有一个不是)
至多有一个	至少有两个	至少有一个	一个也没有	任意的	某些
所有的	某个	三数中有一偶数	至少两个偶数或全奇数

典例剖析

【正面情形多，不好说明的】已知\(a\ge -1\)，求证三个方程：\(x^2+4ax-4a+3=0\)，\(x^2+(a-1)x+a^2=0\)，\(x^2+2ax-2a=0\)中至少有一个方程有实数根。

分析：若从正面思考，那么应该有七种情形，比如三个方程中仅仅有一个有实根的有三种情形，有两个方程有实根的有三种情形，三个方程都有实根的有一种情形，

那么从正面入手计算，其情形比如会很复杂，故这样的题目往往选择反证法。

解析：使用反证法，假设三个方程都没有实数根，则其必然满足

\(\left\{\begin{array}{l}{(4a)^2-4(-4a+3)<0}\\{(a-1)^2-4a^2<0}\\{(2a)^2-4\times (-2a)<0}\end{array}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{3}{2}<a<\cfrac{1}{2}}\\{a>\cfrac{1}{3}或a<-1}\\{-2<a<0}\end{array}\right.\)

即\(-\cfrac{3}{2}<a<-1\)，这与已知\(a\ge -1\)矛盾，

所以假设不成立，故原命题成立。即三个方程中至少有一个方程有实数根。

已知\(f(x)=ax^2+bx+c\)，若\(a+c=0\)，\(f(x)\)在\([-1，1]\)上的最大值为\(2\)，最小值为\(-\cfrac{5}{2}\)。

求证：\(a\neq 0\)且\(|\cfrac{b}{a}|<2\)。

证明：假设\(a= 0\)或\(|\cfrac{b}{a}|\ge 2\) ，

(1)当\(a=0\)时，由\(a+c=0\)，得到\(f(x)=bx\)，显然\(b\neq 0\)，

由题意可得，\(f(x)=bx\)在区间\([-1，1]\)上是单调函数，

故\(f(x)\)的最大值为\(|b|\)，最小值为\(-|b|\)，故最值之和为\(|b|-|b|=0\)，

而又题目可知，最值之和为\(2-\cfrac{5}{2}=-\cfrac{1}{2}\)，和已知矛盾。

故\(a\neq 0\)。

(2)当\(|\cfrac{b}{a}|\ge 2\)时，由二次函数的对称轴为\(x=-\cfrac{b}{2a}\)可知，\(|x|=\cfrac{1}{2}|\cfrac{b}{a}|\ge 1\)，

故\(f(x)\)在区间\([-1，1]\)上是单调函数，其最值在端点处取到，所以有

\(\left\{\begin{array}{l}{f(1)=a+b+c=2}\\{f(-1)=a-b+c=-\cfrac{5}{2}}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{f(1)=a+b+c=-\cfrac{5}{2}}\\{f(-1)=a-b+c=2}\end{array}\right.\)

结合\(a+c=0\)，解得\(b=2\)且\(b=\cfrac{5}{2}\)或\(b=-2\)且\(b=-\cfrac{5}{2}\)，这是不可能的。

所以\(|\cfrac{b}{a}|<2\)

故由(1)(2)可知， 得到\(a\neq 0\)且\(|\cfrac{b}{a}|<2\)。

引申：还可以证明函数\(f(x)\)的对称轴必然会在区间\([-1，1]\)内；或者证明\(|b|<2|a|\)；或者证明函数\(f(x)\)在区间\([-1，1]\)上不单调。

设\(x，y，z>0\)，则三个数\(\cfrac{y}{x}+\cfrac{y}{z}\)，\(\cfrac{z}{x}+\cfrac{z}{y}\)，\(\cfrac{x}{z}+\cfrac{x}{y}\)【】

$A.都大于2$ $B.至少有一个大于2$ $C.至少有一个不小于2$ $D.至少有一个不大于2$

分析：假设三个数都小于\(2\)，

则\(\cfrac{y}{x}+\cfrac{y}{z}+\cfrac{z}{x}+\cfrac{z}{y}+\cfrac{x}{z}+\cfrac{x}{y}<6\)，

又由于\(\cfrac{y}{x}+\cfrac{y}{z}+\cfrac{z}{x}+\cfrac{z}{y}+\cfrac{x}{z}+\cfrac{x}{y}=(\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y})+(\cfrac{z}{x}+\cfrac{x}{z})+(\cfrac{y}{z}+\cfrac{z}{y})\ge 6\)

这与假设矛盾，故假设不成立，即三个数不都小于\(2\)，即至少有一个不小于\(2\)，故选\(C\)。