数学美|数阵与数列

前言

数学之形

三角形数阵，杨辉三角，矩阵，数列等，

二项式系数与杨辉三角

相关方法

• 数学方法：观察、归纳，推理，

• 观察方法：注意观察每一行的项数与所在行之间的关系，注意每一行的最后一项的下标与行数的关系。

• 其他相关：自然数数列，正奇数数列，自然数数列的前\(n\)项和，二阶等差；

典例剖析

【体会数学形的特征】已知数列\(a_1=1\)，\(a_2=1+2\)，\(a_3=1+2+3\)，\(a_4=1+2+3+4\)，\(\cdots\)，则数列的前\(n\)项和\(S_n\)为____________。

分析：由题目可知，

\(a_1=1\)，

\(a_2=1+2\)，

\(a_3=1+2+3\)，

\(a_4=1+2+3+4\)，

\(\cdots\)，

观察，归纳，可以猜想得到

\(a_n=1+2+3+4+\cdots+n=\cfrac{n(n+1)}{2}=\cfrac{1}{2}n^2+\cfrac{1}{2}n\)，

故可以用分组求和法求解其前\(n\)项和\(S_n\)

\(S_n=\cfrac{1}{2}(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+\cfrac{1}{2}(1+2+3+\cdots+n)\)

\(=\cfrac{1}{2}\times \cfrac{n\cdot (n+1)\cdot(2n+1)}{6}+\cfrac{1}{2}\times \cfrac{n(n+1)}{2}\)

\(=\cfrac{n\cdot (n+1)\cdot(2n+1)}{12}+\cfrac{n(n+1)}{4}\)

已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=(-1)^n\cdot 2n+1\)，该数列的项排成一个三角形数阵，如下图，则该数阵中的第\(10\)行第\(3\)个数为__________。

\[\begin{array}{ccccc} &&a_1&&\\ &a_2&&a_3&\\ a_4&&a_5&&a_6\\ &\cdots&\cdots&\cdots&\\ \end{array}\]

分析：上述三角形数阵的第\(1\)行有\(1\)项，最后一项的下标为\(1\)，

第\(2\)行有\(2\)项，最后一项的下标为\(1+2\)，

第\(3\)行有\(3\)项，最后一项的下标为\(1+2+3\)，

第\(n\)行共有\(n\)项，最后一项的下标为\(1+2+3+\cdots+n\)，那么，

第\(9\)行有\(9\)项，最后一项的下标为\(1+2+3+\cdots+9=45\)，

则第\(10\)行的第一项为\(a_{46}\)，从而第\(10\)行的第\(3\)项为\(a_{48}\)，

故\(a_{48}=(-1)^{48}\cdot 2\times 48+1=97\)。

【2018年宝鸡市二检理科第16题】将数列\(\{a_n\}\)按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一个数\(a_1，a_2，a_5，\cdots，\)构成公差为\(d\)的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为\(q\)的等比数列，若\(a_1=1，a_3=4，a_5=3\)，则\(d=\)；第\(n\)行的和\(T_n\)=__。

\[\begin{array}{ccccc} a_1&&&&\\ a_2&a_3&a_4&\\ a_5&a_6&a_7&a_8&a_9\\ &\cdots&\cdots&\cdots&\\ \end{array}\]

分析：由三角形表观察计算得出：

①：第一行有1项，第二行有3项，第三行有5项，故猜想：第\(n\)行应该有\(2n-1\)项；

②：由表的第一列构成等差数列，可知\(2a_2=a_1+a_5\)，即\(a_2=2\)；

③：等差数列的首项是1，公差为\(d=1\)，那么第4行的首项应该为4，第\(n\)行的首项应该为\(n\)；

④：每一行的等比数列的公比可以由\(\cfrac{a_3}{a_2}=2\)得到，即\(q=2\)

那么第\(n\)行就是首项为\(n\)，公比为\(q=2\)，项数为\(2n-1\)的等比数列，其和\(T_n=\cfrac{n\cdot (2^{2n-1}-1)}{2-1}=n\cdot (2^{2n-1}-1)\)。

引申分析：

⑤：第三行的首项是\(a_5=a_{2^2 + 1}\)，猜想第四行的首项是\(a_{10}=a_{2^3 + 1}=a_{9+1}\)，第五行的首项是第\(a_{2^4 + 1}=a_{17}\)项，那么第\(n\)行的首项是第\(a_{2^{n-1} + 1}\)项；

⑥：\(a_{2^{n-1} + 1}=n\)；

【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第14题】我国古代数学名著《周髀算经》记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为\(a^2+b^2=c^2\)，\((a，b，c\in N^*)\)，我们把\(a，b，c\)成为勾股数，下面给出几组勾股数：\(3，4，5\)；\(5，12，13\)；\(7，24，25\)；\(9，40，41\)；\(\cdots\)，以此类推，可猜测第五组勾股数为__________ 。

分析：

\(\begin{array}{ccc} 3&4&5\\ 2\times1+1&2\times1\times(1+1)&2\times1\times(1+1)+1\\ 5&12&13\\ 2\times2+1&2\times2\times(2+1)&2\times2\times(2+1)+1\\ 7&24&25\\ 2\times3+1&2\times3\times(3+1)&2\times3\times(3+1)+1\\ 9&40&41\\ 2\times4+1&2\times4\times(4+1)&2\times4\times(4+1)+1\\ 11&60&61\\ 2\times5+1&2\times5\times(5+1)&2\times5\times(5+1)+1\\ 13&84&85\\ 2\times6+1&2\times6\times(6+1)&2\times6\times(6+1)+1\\ 15&112&113\\ 2\times7+1&2\times7\times(7+1)&2\times7\times(7+1)+1\\ \end{array}\)

故第五组勾股数为\(11，60，61\)；

推广得到第\(n\)组勾股数的组成规律：

\(a=2\times n+1\)，\(b=2\times(n+1)+1\)，\(c=2\times n\times (n+1)+1\)，

【归纳推理】【2018山西四校联考】已知\(x\in (0，+\infty)\)，观察下列各式：(注意，我们有意将其竖行书写)

\(x+\cfrac{1}{x}\ge 2\)；

\(x+\cfrac{4}{x^2}=\cfrac{x}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{4}{x^2}\ge 3\)；

\(x+\cfrac{27}{x^2}=\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{27}{x^3}\ge 4\)；

\(\cdots\)，类比得到

\(x+\cfrac{a}{x^n}\ge n+1\)，则\(a\)=__________。

分析：第一个式子是\(n=1\)的情形，此时\(a=1^1=1\)；

第二个式子是\(n=2\)的情形，此时\(a=2^2=4\)；

第三式子是\(n=3\)的情形，此时\(a=3^3=27\)；

归纳可知， \(a=n^n\)；

延伸阅读：上述表达式其实是均值不等式的拓展情形，

二元均值不等式：\(x+\cfrac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\times \cfrac{1}{x}}=2\)；

三元均值不等式：\(x+\cfrac{4}{x^2}=\cfrac{x}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{4}{x^2}\ge 3\sqrt[3]{\cfrac{x}{2}\times\cfrac{x}{2}\times\cfrac{4}{x^2}}=3\)；

四元均值不等式：\(x+\cfrac{27}{x^2}=\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{27}{x^3}\ge 4\sqrt[4]{\cfrac{x}{3}\times\cfrac{x}{3}\times\cfrac{x}{3}\times\cfrac{27}{x^3}}=4\)；

【归纳推理】大于1的自然数\(m\)的三次幂可以用奇数进行以下形式的“分裂”：

\(2^3=3+5\)；

\(3^3=7+9+11\)；

\(4^3=13+15+17+19\)；

\(5^3=21+23+25+27+29\)；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)，

仿此，若\(m^3\)的分裂数中有一个是2019，则\(m\)的值为【】

$A.44$ $B.45$ $C.46$ $D.47$

分析：\(2^3=3+5\)，分裂成构成等差数列的\(2\)个数之和，公差为\(2\)，分裂后的第一个数为\(3=2\times 1+1\)；

\(3^3=7+9+11\)，分裂成构成等差数列的\(3\)个数之和，公差为\(2\)，分裂后的第一个数为\(7=3\times 2+1\)；

\(4^3=13+15+17+19\)；分裂成构成等差数列的\(4\)个数之和，公差为\(2\)，分裂后的第一个数为\(13=4\times 3+1\)；

\(5^3=21+23+25+27+29\)；分裂成构成等差数列的\(5\)个数之和，公差为\(2\)，分裂后的第一个数为\(21=5\times 4+1\)；

则\(m^3\)分裂成构成等差数列的\(m\)个数之和，公差为\(2\)，分裂后的第一个数为\(m\times (m-1)+1\)；

则分裂形成的等差数列的通项公式为\(a_n=m\times (m-1)+1+(n-1)\times 2\)，且\(1\leq n\leq m\)，\(m，n\in N^*\)；

令\(a_n=2019\)，即\(m\times (m-1)+1+(n-1)\times 2=2019\)，

将\(m=44\)，代入验证，得到\(2n-2=126\)，即\(n=64\)，不符舍去；将\(m=45\)，代入验证，得到\(2n-2=38\)，即\(n=20\)，满足题意；

将\(m=46\)，代入验证，得到\(2n-2=-52\)，即\(n=-25\)，不符舍去；同理同法将\(m=47\)也舍去，故选\(B\)；

【2020宝鸡市三检文理第5题】将正奇数排成一个三角形数阵，按照如图排列的规律，则第\(15\)行第\(3\)个数为【\(\quad\)】

$A.213$ $B.215$ $C.217$ $D.219$

\[\begin{array}{ccccc} &&&1&&&\\ &&3&&5&&\\ &7&&9&&11&\\ 13&&15&&17&&19\\ &\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\\ \end{array}\]

法1：由题目及数阵可得，在三角形数阵中，第一行排\(1\)个奇数，第二行排\(2\)个奇数，第三行排\(3\)个奇数，

前\(14\)行共排了\(1+2+3+\cdots+14=\cfrac{(1+14)14}{2}=105\)个奇数，第\(15\)行第\(3\)个数为数阵的第\(108\)个数，

即所求数字为首项为\(1\)，公差为\(2\)的等差数列的第\(108\)项，故\(a_{108}=1+(108-1)2=215\)，故选\(B\).

法2：考查右侧的从上往下的斜列，即每一行的最后一个奇数，

分别为\(1\)，\(5\)，\(11\)，\(19\)，\(\cdots\)，

刚好是\(2-1\)，\(6-1\)，\(12-1\)，\(20-1\)，\(\cdots\)，

即\(1\times 2-1\)，\(2\times 3-1\)，\(3\times 4-1\)，\(4\times 5-1\)，\(\cdots\)，

可以看出来，第\(k\)行的最后一个奇数为\(k(k+1)-1\)，

故第\(14\)行的最后一个数为\(14\times 15-1=209\)，

故第\(15\)行第\(3\)个奇数为\(209+6=215\)，故选\(B\).

【2020 \(\cdot\) 滩坊模拟】将 \(n^{2}\) 个数排成 \(n\) 行 \(n\) 列的一个数阵，如图，该数阵第一列的 \(n\) 个数从上到下构成以 \(m\) 为公差的等差数列，每一行的 \(n\) 个数从左到右构成以 \(m\) 为公比的等比数列(其中 \(m>0\)) . 已知 \(a_{11}\)\(=\)\(2\) ， \(a_{13}\)\(=\)\(a_{61}\)\(+\)\(1\)， 记这 \(n^{2}\) 个数的和为 \(S\) .则下列结论不成立的是【\(\quad\)】

$\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}\\ \end{array}$

$A. m=3$ $B.a_{67}=17\times3^{7}$ $C.a_{i j}=(3 i-1) \times 3^{j-1}$ $D.S=\cfrac{1}{4}n(3n+1)(3^{n}-1)$

解析： 由题目可知， \(a_{11}=2\)， \(a_{13}=a_{61}+1\)，

又由于 \(a_{13}=a_{11}\cdot m^2=2m^2\)，\(a_{61}=a_{11}+(6-1)\times m=2+5m\)，

则 \(2m^{2}=2+5m+1\)， 解得 \(m=3\) 或 \(m=-\cfrac{1}{2}\)(舍去)，故 选项 \(A\) 正确；

又由于横行成等比数列，公比为 \(m=3\)，纵列成等差数列，公差为 \(m=3\)，

则 \(a_{ij}=a_{i1}\cdot 3^{j-1}=[2+(i-1)\times3]\cdot 3^{j-1}=(3i-1)\cdot 3^{j-1}\)，故 选项 \(C\) 正确；

令 \(i=6\) ，\(j=7\) 得到， \(a_{67}=17\times 3^{6}\)，故 选项 \(B\) 不正确；

又由于 \(S=(a_{11}+a_{12}+a_{13}+\cdots+a_{1n})\)\(+\)\((a_{21}+a_{22}+a_{23}+\cdots+a_{2n})\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\((a_{n1}+a_{n2}+a_{n3}+\cdots+a_{nn})\)

\(=\cfrac{a_{11}(1-3^{n})}{1-3}+\cfrac{a_{21}(1-3^{n})}{1-3}+\cdots+\cfrac{a_{n1}(1-3)^{n}}{1-3}\)

\(=\cfrac{3^n-1}{2}(a_{11}+a_{21}+\cdots+a_{n1})=\cfrac{3^n-1}{2}[2n+\cfrac{n(n-1)}{2}]\times3\)

\(=\cfrac{1}{4}n(3n+1)(3^{n}-1)\). 故 选项 \(D\) 正确；综上所述，选 \(B\).

数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中， 揭示了规律性， 是一种科学的真实美。 在平面直角坐标系中， 曲线 \(C: x^2+y^2=2|x|+2|y|\) 就是一条形状优美的曲线， 对于此曲线， 下列说法正确的有【\(\qquad\)】

$A$.曲线 $C$ 围成的图形有 $4$ 条对称轴

$B.$ 曲线 $C$ 围成的图形的周长是 $4\sqrt{3}\pi$

$C.$曲线 $C$ 上的任意两点间的距离不超过 $6$

$D.$若 $T(a,b)$ 是曲线 $C$ 上任意一点，则 $|4 a+3 b-18|$ 的最小值是 $11-5\sqrt{2}$

解：首先遇到的难点是要化简 \(x^2+y^2=2|x|+2|y|\)，更多关于绝对值的化简，请参阅含有绝对值符号的问题，则

① 当 \(x\geq 0\)，\(y\geq 0\) 时，\(x^2+y^2=2x+2y\)，化简得 \((x-1)^2+(y-1)^2=2\)，表示圆心为 \((1,1)\)，半径 \(r=\sqrt{2}\) 的半圆；

② 当 \(x \geq 0\)，\(y<0\) 时，\(x^2+y^2=2x-2y\)，化简得 \((x-1)^2+(y+1)^2=2\)，表示圆心为 \((1,-1)\)，半径 \(r=\sqrt{2}\) 的半圆；

③ 当 \(x<0\)，\(y\geq 0\) 时，\(x^2+y^2=-2x+2y\)，化简得 \((x+1)^2+(y-1)^2=2\)，表示圆心为 \((-1,1)\)，半径 \(r=\sqrt{2}\) 的半圆；

④ 当 \(x<0\)，\(y<0\) 时，\(x^2+y^2=-2x-2y\)，化简得 \((x+1)^2+(y+1)^2=2\)，表示圆心为 \((-1,-1)\)，半径 \(r=\sqrt{2}\) 的半圆。

作出曲线 \(C: x^2+y^2=2|x|+2|y|\) 的图像如图所示:

[全屏/Esc]

对于选项 \(A\)， 易知曲线图像有 \(4\) 条对称轴， 则选项 \(A\) 正确；

对于选项 \(B\)，曲线图形由 \(4\) 个半圆组成，故其周长为 \(2\times 2\pi\times r=4\sqrt{2}\pi\), 则选项 \(B\) 错误；

对于选项 \(C\)，由图可知， 曲线 \(C\) 上的任意两点间的最大距离为 \(4r=4\sqrt{2}\approx 5.66\) ， 则选项 \(C\) 正确；

对于选项 \(D\)，圆心 \((1,1)\) 到直线 \(4x+3y-18=0\) 的距离为 \(d_1=\cfrac{|4+3-18|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\cfrac{11}{5}\)，

\(T(a, b)\) 到直线 \(4x+3y-18=0\) 的距离 \(d_2=\cfrac{|4a+3b-18|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\cfrac{|4a+3b-18|}{5}\)，

若使 \(d_2\) 最小， 则有 \(d_2=d_1-r=\cfrac{11}{5}-\sqrt{2}\)，所以 \(\cfrac{|4a+3b-18|}{5}=\cfrac{11}{5}-\sqrt{2}\)，

得 \(|4a+3b-18|=11-5\sqrt{2}\)， 则选项 \(D\) 正确。

故选: \(ACD\).

【解后反思】：关于 \(|4a+3b-18|\) 的最小值的求解思路选择，还可以考虑用三角函数求解，比如 \(T(a,b)\) 是曲线 \(C\) 上任意一点，则但点 \(T\) 在半圆 \((x-1)^2+(y-1)^2=2\) 上时，则 \(a=\sqrt{2}\cos\theta+1\)， \(b=\sqrt{2}\sin\theta+1\)，\(\theta\in[-\cfrac{\pi}{4},\cfrac{3\pi}{4}]\)，代入计算，其他半圆上的情形用同法处理；当然这个思路明显没有从形上思考快捷。比如本题目的解法中将 \(|4a+3b-18|\) 看成点 \(T(a, b)\) 到直线 \(4x+3y-18=0\) 的距离的一部分，这个做法要引起注意。