构造数列中的常见变形总结

类型Ⅰ：

形如\(a_{n+1}=p\cdot a_n+q\)，\(p，q\)为常数，即\(a_{n+1}=f(a_n)\)，构造变形方向：

其一：\(a_{n+1}+k=p(a_n+k)\)，构造\(\{a_n+k\}\)为等比数列，\(k=\frac{q}{p-1}\)；

其二：先得到\(a_n=p\cdot a_{n-1}+q\)，两式做差，得到

\(a_{n+1}-a_n=p(a_n-a_{n-1})\)，构造\(\{a_n-a_{n-1}\}\)为等比数列；

类型Ⅱ：

形如\(a_{n+1}=2\cdot a_n+3n+2\)，即\(a_{n+1}=f(n，a_n)\)，构造变形方向：

假设\(a_{n+1}+A(n+1)+B=2(a_n+An+B)\)，解得\(A=3\)，\(B=5\)，

即\(a_{n+1}+3(n+1)+5=2(a_n+3n+5)\)，构造\(\{a_n+3n+5\}\)为等比数列；

类型Ⅲ：

形如\(a_{n+1}=2\cdot a_n+3n^2+4n+2\)，即\(a_{n+1}=f(n，a_n)\)，(高三仅仅了解)构造变形方向：

假设\(a_{n+1}+A(n+1)^2+B(n+1)+C=2(a_n+An^2+Bn+C)\)，解得\(A=3\)，\(B=10\)，\(C=15\)

即\(a_{n+1}+3(n+1)^2+10(n+1)+15=2(a_n+3n^2+10n+15)\)，构造\(\{a_n+3n^2+10n+15\}\)为等比数列；

类型Ⅳ：

形如\(a_{n+2}=3 a_{n+1}-2a_n\)，即\(a_{n+2}=f(a_{n+1}，a_n)\)，一次式，构造变形方向：

假设\(a_{n+2}+pa_{n+1}=k(a_{n+1}+pa_n)\)，解得\(\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{p=-1}\end{array}\right.\)，\(\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{p=-2}\end{array}\right.\)，

当 \(\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{p=-1}\end{array}\right.\)时，即\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)，构造\(\{a_{n+1}-a_n\}\)为等比数列；

当\(\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{p=-2}\end{array}\right.\)时，即\(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)，构造\(\{a_{n+1}-2a_n\}\)为等差数列；

类型Ⅴ：

形如\(a_{n+1}=\cfrac{a_n}{na_n+1}\)，或\(a_{n+1}=f(a_n)\)，分式函数，构造变形方向：

两边同时取倒数，得到\(\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{1}{a_n}+n\)，即\(b_{n+1}-b_n=f(n)\)型，累加法

类型Ⅵ：

形如\(a_{n+1}=2\cdot a_n+3^n\)，或\(a_{n+1}=f(n，a_n)\)，并非关于\(n\)的多项式函数，构造变形方向：

两边同时除以\(3^{n+1}\)，则得到\(\cfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\cfrac{2}{3}\cdot \cfrac{a_n}{3^n}+\cfrac{1}{3}\)，即\(b_{n+1}=pb_n+q\)型，

再如\(a_{n+1}=\cfrac{1}{2}a_n+\cfrac{1}{2^{n-1}}\)，两边同乘以\(2^{n+1}\)，

得到\(2^{n+1}\cdot a_{n+1}=2^n\cdot a_n+4\)，即转化为\(b_{n+1}-b_n=d\)型；

类型Ⅶ：

形如\(S_{n+1}-S_n = k\cdot S_{n+1}\cdot S_n\)，(\(k\)为常数)，构造变形方向：

等式两边同除以非零因子\(S_{n+1}\cdot S_n\)，得到\(\cfrac{1}{S_n}-\cfrac{1}{S_{n+1}}=k\)，构造\(\{\cfrac{1}{S_n}\}\)为等差数列。

同样的变形，形如\(a_{n+1}-a_n = k\cdot a_{n+1}\cdot a_n\)，(\(k\)为常数)，

[高阶引申]给定\(S_n-1=S_n\cdot S_{n-1}-S_n\)的变形方向：[重点体会变形的实质和方向，\(S_n\)的内涵可以是式]

分析：\(-(S_n-1)=-S_n\cdot S_{n-1}+S_n\)

则\((S_{n-1}-1)-(S_n-1)=-S_n\cdot S_{n-1}+S_n+S_{n-1}-1\)

即\((S_{n-1}-1)-(S_n-1)=-[S_n\cdot S_{n-1}-S_n-S_{n-1}+1]=-(S_{n-1}-1)(S_n-1)\)

故\(\cfrac{(S_{n-1}-1)-(S_n-1)}{(S_{n-1}-1)(S_n-1)}=-\cfrac{(S_{n-1}-1)(S_n-1)}{(S_{n-1}-1)(S_n-1)}=-1\)

即\(\cfrac{1}{S_n-1}-\cfrac{1}{S_{n-1}-1}=-1\)，即数列\(\{\cfrac{1}{S_n-1}\}\)是等差数列；

类型Ⅷ：

形如如\(a_{n+1}=p\cdot a_n^m\)，(\(p，m\)为常数)，构造变形方向：

两边取常用对数，得到\(lga_{n+1}=lgp+mlga_n\)，即\(b_{n+1}=pb_n+q\)型，

类型Ⅸ：

• 形如\(a_{n+1}\cdot a_n=2^n\)，构造变形方向：

得到\(a_{n+2}\cdot a_{n+1}=2^{n+1}\)，做商得到\(\cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2\)，即所有的奇数项和偶数项各自成等比数列。

• 形如\(a_{n+1}+a_n=2n\)，构造变形方向：

得到\(a_{n+2}+a_{n+1}=2(n+1)\)，做差得到\(a_{n+2}-a_n=2\)，即所有的奇数项和偶数项各自成等差数列。

类型Ⅹ：

形如\(a_{n+m}=a_n+a_m\)，构造变形方向：

赋值\(m=1\)，得到\(a_{n+1}- a_n=a_1\)，即得到等差数列。

形如\(a_{n+m}=a_n\cdot a_m\)，构造变形方向：

赋值\(m=1\)，得到\(a_{n+1}= a_n\cdot a_1\)，即得到等比数列。