counting 太困难了（25.5）
2025/5/5
guomao 限时返厂六六六演都不演了！！！
2025/5/6
5.6 以前的咕咕咕。
P6076
二项式定理与二项式反演的运用
- \((a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^n \dbinom{n}{i}a^i b^{n-i}\)
- \(f(n)=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}g(i),g(n)=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}-1^{n-i}f(i)\)
\(f(i)\) 是恰好满足 \(i\) 个条件的方案数，\(g(i)\) 是至多满足 \(i\) 个条件的方案数。
再定义：
\(h(n,m,c)\to \leq n \And \leq m\And \leq c\)
\(p(n,m,c)\to n\geq 1 \And \leq m \And \leq c\)
通过上面的 \(f,g\) 以及 \(h\) 的组合意义可以推出 \(f\) 的表达式。
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define FASTIO ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr)
#define rep(i, j, k) for (int i = j; i <= k; ++i)
#define pre(i, j, k) for (int i = j; i >= k; --i)
#define PII pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define inf 0x3fffffff
#define iv inline void
#define il inline int
#define ic inline char
#define int long long
//#define getchar getchar_unlocked
//#define putchar putchar_unlocked
using LL = long long;
using i64 = __int128;
using namespace std;
const int N = 4e6 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
#define cmax(a, b) (a = a > b ? a : b)
#define cmin(a, b) (a = a < b ? a : b)
#define cadd(a, b) (a = ((a + b) % mod + mod) % mod)
#define cdel(a, b) (a = ((a - b) % mod + mod) % mod)
namespace IO {
const long long MAXR = 100000050; // 定义缓冲区的最大大小
char _READ_[MAXR], _PRint_[MAXR]; // 读写缓冲区
long long _READ_POS_, _PRint_POS_, _READ_LEN_; // 读缓冲区的位置和长度标记
// 读取单个字符的函数
ic readc() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
return getchar(); // 本地测试时直接使用 getchar
#endif
if (!_READ_POS_) { // 如果当前位置为 0
if (feof(stdin))
return -1; // 到达文件末尾
_READ_LEN_ = fread(_READ_, 1, MAXR, stdin); // 从标准输入读取数据到缓冲区
}
char c = _READ_[_READ_POS_++]; // 获取当前字符，并移动位置标记
if (_READ_POS_ == _READ_LEN_)
_READ_POS_ = 0; // 如果到达缓冲区末尾，重置位置标记
return c; // 返回读取的字符
}
// 模板函数，用于读取整型数据
template <typename T>
il read(T &x) {
x = 0;
register long long flag = 1, c; // 初始化变量 x 和标志位 flag
// 跳过所有非数字和负号字符
while (((c = readc()) < '0' || c > '9') && c != '-')
if (c < 0)
return -1; // 如取到文件末尾
if (c == '-')
flag = -1;
else
x = c - '0'; // 如果是负号，设置标志位；否则转换为数字
// 读取剩余的数字字符
while ((c = readc()) >= '0' && c <= '9') x = x * 10 - '0' + c;
x *= flag; // 正负数处理
return 0; // 成功读取
}
template <typename T>
iv write(T x) {
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
} // namespace IO
using namespace IO;
int n, m, k, f[N], g[N], ret;
int qkpow(int a, int b) {
int ret = 1;
for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod) if(b & 1) ret = ret * a % mod;
return ret;
}
struct calc {
int s[N], inv[N];
void init(int n) {
s[0] = 1;
rep(i, 1, n) s[i] = s[i - 1] * i % mod;
inv[n] = qkpow(s[n], mod - 2);
pre(i, n, 1) inv[i - 1] = inv[i] * i % mod;
}
int C(int a, int b) { return (a < b ? 0 : s[a] * inv[b] % mod * inv[a - b] % mod); }
} c;
signed main() {
FASTIO;
c.init(N - 5);
cin >> n >> m >> k;
rep(i, 0, k) {
rep(j, 1, m) cadd(f[i], c.C(m, j) * qkpow(qkpow(i + 1, j) - 1, n) % mod * qkpow(-1, m - j));
// cout << f[i] << ' ';
}
int ret = 0;
rep(i, 0, k) cadd(ret, f[i] * c.C(k, i) % mod * qkpow(-1, k - i));
cout << ret;
return 0;
}
P5339
简单题，感觉弱于上面那个题，首先考虑将一组四个人缩为一点，钦定有 \(i\) 组，则一共用 \(n-3\times i\) 个位置，每一个 \(i\) 需要乘一个组合系数 \(\dbinom{n-3\times i}{i}\)。
第二步是用剩下的人填满剩下的位置，由于第一步讨论坤坤的人已经考虑了所有位置的方案，所以第二步不讨论坤坤的人不需再考虑位置，直接钦定相对位置算方案即可，方案数是：
\[(n-4i)!\sum[a+b+c+d=n-4i]\dfrac{1}{a!b!c!d!}
\]
用 NTT 算。
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define FASTIO ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr)
#define rep(i, j, k) for (int i = j; i <= k; ++i)
#define pre(i, j, k) for (int i = j; i >= k; --i)
#define PII pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define inf 0x3fffffff
#define iv inline void
#define il inline int
#define ic inline char
#define int long long
//#define getchar getchar_unlocked
//#define putchar putchar_unlocked
using LL = long long;
using i64 = __int128;
using namespace std;
const int N = 4e6 + 5;
const int mod = 998244353;
#define cmax(a, b) (a = a > b ? a : b)
#define cmin(a, b) (a = a < b ? a : b)
#define cadd(a, b) (a = ((a + b) % mod + mod) % mod)
#define cdel(a, b) (a = ((a - b) % mod + mod) % mod)
namespace IO {
const long long MAXR = 100000050; // 定义缓冲区的最大大小
char _READ_[MAXR], _PRint_[MAXR]; // 读写缓冲区
long long _READ_POS_, _PRint_POS_, _READ_LEN_; // 读缓冲区的位置和长度标记
// 读取单个字符的函数
ic readc() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
return getchar(); // 本地测试时直接使用 getchar
#endif
if (!_READ_POS_) { // 如果当前位置为 0
if (feof(stdin))
return -1; // 到达文件末尾
_READ_LEN_ = fread(_READ_, 1, MAXR, stdin); // 从标准输入读取数据到缓冲区
}
char c = _READ_[_READ_POS_++]; // 获取当前字符，并移动位置标记
if (_READ_POS_ == _READ_LEN_)
_READ_POS_ = 0; // 如果到达缓冲区末尾，重置位置标记
return c; // 返回读取的字符
}
// 模板函数，用于读取整型数据
template <typename T>
il read(T &x) {
x = 0;
register long long flag = 1, c; // 初始化变量 x 和标志位 flag
// 跳过所有非数字和负号字符
while (((c = readc()) < '0' || c > '9') && c != '-')
if (c < 0)
return -1; // 如取到文件末尾
if (c == '-')
flag = -1;
else
x = c - '0'; // 如果是负号，设置标志位；否则转换为数字
// 读取剩余的数字字符
while ((c = readc()) >= '0' && c <= '9') x = x * 10 - '0' + c;
x *= flag; // 正负数处理
return 0; // 成功读取
}
template <typename T>
iv write(T x) {
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
} // namespace IO
using namespace IO;
int n, m, k, A, B, C, D, f[N], g[N], rev[N], bit, a[N], b[N], c[N], d[N], tot;
int qkpow(int a, int b) {
int ret = 1;
for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod) if(b & 1) ret = ret * a % mod;
return ret;
}
struct calc {
int s[N], inv[N];
void init(int n) {
s[0] = 1;
rep(i, 1, n) s[i] = s[i - 1] * i % mod;
inv[n] = qkpow(s[n], mod - 2);
pre(i, n, 1) inv[i - 1] = inv[i] * i % mod;
}
int C(int a, int b) {
return (a < b ? 0 : s[a] * inv[b] % mod * inv[a - b] % mod);
}
} cc;
void Init_NTT(int n) {
bit = 0;
while((1 << bit) < n << 1) ++bit;
tot = 1 << bit;
rep(i, 0, tot) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << bit - 1);
}
void NTT(int a[], int inv = 1) {
int n = tot;
rep(i, 1, n) if(i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
for(int mid = 2; mid <= n; mid <<= 1LL) {
int k = mid >> 1,
gn = (qkpow(inv == 1 ? 3 : qkpow(3, mod - 2), (mod - 1) / mid));
for(int i = 0; i < n; i += mid) {
int g = 1;
for(int j = 0; j < k; ++j, g = g * gn % mod) {
int x = a[i + j], y = g * a[i + j + k] % mod;
a[i + j] = (x + y) % mod, a[i + j + k] = (x - y + mod) % mod;
}
}
}
if(inv == -1) {
rep(i, 0, n) a[i] = a[i] * qkpow(n, mod - 2) % mod;
}
}
/*
part2
求在剩下的不讨论坤坤的人中填满 n - 4 * i 个位置的方案数
(n - 4 * i)! \sum (a + b + c + d = n - 4 * i) (n - 4 * i)!
---------------
a! * b! * c! * d!
*/
int calc(int x, int p) {//f[x]：有 x 人不讨论坤坤的方案数
if(x > m - p * 4) return 0;
Init_NTT(m - p * 4);
rep(i, 0, tot - 1) a[i] = (i <= A - p ? cc.inv[i] : 0), b[i] = (i <= B - p ? cc.inv[i] : 0), c[i] = (i <= C - p ? cc.inv[i] : 0), d[i] = (i <= D - p ? cc.inv[i] : 0);
NTT(a), NTT(b), NTT(c), NTT(d);
rep(i, 0, tot - 1) a[i] = a[i] * b[i] % mod * c[i] % mod * d[i] % mod;
NTT(a, -1);
// cout << x << ':' << a[x] << '\n';
return a[x] * cc.s[x] % mod;
}
signed main() {
FASTIO;
cc.init(N - 5);
cin >> n >> A >> B >> C >> D, k = min({A, B, C, D, n / 4}), m = A + B + C + D;
rep(i, 0, k) f[n - 4 * i] = calc(n - 4 * i, i);
int ret = 0;
rep(i, 0, k) cadd(ret, qkpow(-1, i) * cc.C(n - 3 * i, i) % mod * f[n - 4 * i] % mod);
cout << ret;
return 0;
}
2025/5/8
ABC279G
设 \(f_i\) 表示长度为 \(i\) 的网格的个数。
分两种情况，第 \(i\) 格和前面 \(k-1\) 格颜色都不一样，这样随便填，如果有一样的，那么就只能填前 \(k-1\) 格元素的两种颜色，\(k+1\sim n\) 的转移很简单。
考虑怎么对前 \(k\) 个赋初值，前 \(k\) 个相当于是在 \(c\) 种颜色里选两种填，但是这样会算重，只填一种颜色会被多算，那么有：
\[f_i=\dbinom{c}{2}\times 2^i - c\times (c-2)
\]
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define FASTIO ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr)
#define rep(i, j, k) for (int i = j; i <= k; ++i)
#define pre(i, j, k) for (int i = j; i >= k; --i)
#define PII pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define inf 0x3fffffff
#define iv inline void
#define il inline int
#define ic inline char
#define int long long
//#define getchar getchar_unlocked
//#define putchar putchar_unlocked
using LL = long long;
using i64 = __int128;
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
const int mod = 998244353;
#define cmax(a, b) (a = a > b ? a : b)
#define cmin(a, b) (a = a < b ? a : b)
#define cadd(a, b) (a = ((a + b) % mod + mod) % mod)
#define cdel(a, b) (a = ((a - b) % mod + mod) % mod)
namespace IO {
const long long MAXR = 100000050; // 定义缓冲区的最大大小
char _READ_[MAXR], _PRint_[MAXR]; // 读写缓冲区
long long _READ_POS_, _PRint_POS_, _READ_LEN_; // 读缓冲区的位置和长度标记
// 读取单个字符的函数
ic readc() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
return getchar(); // 本地测试时直接使用 getchar
#endif
if (!_READ_POS_) { // 如果当前位置为 0
if (feof(stdin))
return -1; // 到达文件末尾
_READ_LEN_ = fread(_READ_, 1, MAXR, stdin); // 从标准输入读取数据到缓冲区
}
char c = _READ_[_READ_POS_++]; // 获取当前字符，并移动位置标记
if (_READ_POS_ == _READ_LEN_)
_READ_POS_ = 0; // 如果到达缓冲区末尾，重置位置标记
return c; // 返回读取的字符
}
// 模板函数，用于读取整型数据
template <typename T>
il read(T &x) {
x = 0;
register long long flag = 1, c; // 初始化变量 x 和标志位 flag
// 跳过所有非数字和负号字符
while (((c = readc()) < '0' || c > '9') && c != '-')
if (c < 0)
return -1; // 如取到文件末尾
if (c == '-')
flag = -1;
else
x = c - '0'; // 如果是负号，设置标志位；否则转换为数字
// 读取剩余的数字字符
while ((c = readc()) >= '0' && c <= '9') x = x * 10 - '0' + c;
x *= flag; // 正负数处理
return 0; // 成功读取
}
template <typename T>
iv write(T x) {
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
} // namespace IO
using namespace IO;
int n, m, f[N], k, c;
int qkpow(int a, int b) {
int ret = 1;
for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod) if(b & 1) ret = ret * a % mod;
return ret;
}
struct calc {
int s[N], inv[N];
void init(int n) {
s[0] = 1;
rep(i, 1, n) s[i] = s[i - 1] * i % mod;
inv[n] = qkpow(s[n], mod - 2);
pre(i, n, 1) inv[i - 1] = inv[i] * i % mod;
}
int C(int a, int b) { return (a < b ? 0 : s[a] * inv[b] % mod * inv[a - b] % mod); }
} cc;
signed main() {
FASTIO;
cc.init(N - 5);
cin >> n >> k >> c;
rep(i, 1, k) f[i] = ((c * (c - 1) % mod * qkpow(2, mod - 2) % mod * qkpow(2, i) % mod - c * (c - 2)) % mod + mod) % mod;
rep(i, k + 1, n) f[i] = f[i - 1] * 2 % mod + f[i - k + 1] * (c - 2) % mod, f[i] %= mod;
cout << f[n];
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号