树

树

1.1树的基本定义

树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家 谱、单位的组织架构、等等。

树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就 是说它是根朝上，而叶朝下的。

树具有以下特点：

1.每个结点有零个或多个子结点；

2.没有父结点的结点为根结点；

3.每一个非根结点只有一个父结点；

4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

1.2 树的相关术语

结点的度：

一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；

叶结点：

度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点

分支结点：

度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点

结点的层次：

从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推

结点的层序编号：

将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。

树的度：

树中所有结点的度的最大值

树的高度(深度)：

树中结点的最大层次

森林：

m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根 结点，森林就变成一棵树

孩子结点：

一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点

双亲结点(父结点)：

一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点

兄弟结点：

同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

1.3二叉树的基本定义

二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)

满二叉树：

一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，那么这个二叉树就是满二叉树

1.4二叉查找树的创建

1.4.1二叉树的结点类

根据对图的观察，我们发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，我们 设计一个结点类来描述结点这个事物。

结点类API设计：

类名	Node<Key,Value>
构造方法	Node(Key key,Value value,Node left,Node right) : 创建Node对象
成员变量	1.public Node left : 记录左子结点 2.public Node right :记录右子节点 3.public Key key :存储键 4.public Value value ：存储值

private class Node<Key,Value>{
		//存储键
		public Key key;
		//存储值
		private Value value;
		//记录左子结点
		public Node left;
		//记录右子结点
		public Node right;
		public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {
			this.key = key;
			this.value = value;
            this.left = left;
			this.right = right;
		}
}

1.4.2 二叉查找树API设计

类名	BinaryTree<Value,value>
构造方法	BinaryTree() :创建BinaryTree对象
成员变量	1.private Node root 记录根结点 2.private int N 记录树中元素的个数
成员方法	1.public void put(Key key,Value value):向树中插入一个键值对 2.private Node put(Node x,Key key,Value val) : 给指定树x上，添加键一个键值对并返回添加后的新树 3.public Value get(Key key) : 根据key，从树中找出对应的值 4.private Value get(Node x,Key key) : 从指定的树x中，找出key对应的值 5.public void delete(Key key) ：根据key，删除树中对应的键值对 6.private Node delete(Node x, Key key): 删除指定树x上的键为key的键值对，并返回删除后的新树 7.public int size() : 获取树中元素的个数

1.4.3 二叉查找树实现

插入方法put实现思想：

1.如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用

2.如果当前树不为空，则从根结点开始：

2.1如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

2.2如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

2.3如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。

查询方法get实现思想：

从根节点开始：

1.如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

2.如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

3.如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。

删除方法delete实现思想：

1.找到被删除结点；

2.找到被删除结点右子树中的最小结点minNode

3.删除右子树中的最小结点

4.让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树

5.让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

代码：

public class BinaryTree <Key extends Comparable<Key>,Value> {
    private Node root;
    private int N;

    private class Node {
        //存储键
        public Key key;
        //存储值
        private Value value;
        //记录左子节点
        public Node left;
        //记录右子节点
        public Node right;

        public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }

    //获取树中元素的个数
    public int size() {
        return N;
    }

    //向树中添加元素key-value
    public void put(Key key, Value value) {
        root = put(root, key, value);
    }

    //向指定的树x中添加key-value，并返回添加元素后的新树
    private Node put(Node x, Key key, Value value) {
        if (x == null) {
//个数+1
            N++;
            return new Node(key, value, null, null);
        }
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
//新结点的key大于当前结点的key，继续找当前结点的右子结点
            x.right = put(x.right, key, value);
        } else if (cmp < 0) {
//新结点的key小于当前结点的key，继续找当前结点的左子结点
            x.left = put(x.left, key, value);
        } else {
//新结点的key等于当前结点的key，把当前结点的value进行替换
            x.value = value;
        }
        return x;
    }

    //查询树中指定key对应的value
    public Value get(Key key){
        return get(root,key);
    }
    public Value get(Node x,Key key){
        //x树为null
        if (x== null){
            return null;
        }
        //x树不为null

        //比较key和x结点的键的大小
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
            //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
            return get(x.right,key);
        } else if (cmp < 0) {
            //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
            return get(x.left,key);

        } else {
            //如果key等于x结点的键，就找到了键为key的结点，只需要返回x结点的值即可
            return x.value;
        }
    }
    //删除树中key对应的value
    public void delete(Key key){
        delete(root,key);
    }
    //删除指定树中x中对应的value，并返回删除后的新树
    public Node delete(Node x,Key key){
         //x树为null
        if(x == null){
            return null;
        }
        //x树不为null
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
            //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
            x.right = delete(x.right,key);

        } else if (cmp < 0) {
            //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
            x.left = delete(x.left,key);

        } else {

            //如果key等于x结点的键，完成真正的删除结点的动作，要删除的结点就是x
            //让元素个数-1
            N--;
            //首先得先找到右子树中最小的结点
            if (x.right == null){
                return x.left;
            }
            if (x.left == null){
                return x.right;
            }
             Node minNode = x.right;
            while (minNode.left!=null){
                minNode = minNode.left;
            }

            //删除右子树中最小的结点
            Node n = x.right;
            while (n.left!=null){
                if (n.left.left== null){
                    n.left=null;
                }else {
                    //变换n结点
                    n = n.left;
                }
            }
            //让x结点的左子树成为minNode的左子树
            minNode.left = x.left;
            //让x结点的右子树成为minNode的右子树
            minNode.right = x.right;
            //让x结点的父节点指向minNode
            x = minNode;

        }
        return x;
    }
}

测试代码：

public class BinaryTreeTest {
    public static void main(String[] args) {
        //创建二叉查找树对象
        BinaryTree<Integer,String> tree = new BinaryTree<>();

        //测试插入
        tree.put(1,"张三");
        tree.put(2,"李四");
        tree.put(3,"王五");
        tree.put(4,"赵六");
        System.out.println("插入完毕后元素的个数："+tree.size());
        //测试获取
        System.out.println("键2对应的元素为：" +tree.get(2));
        //测试删除
        tree.delete(3);
        System.out.println("删除后元素的个数："+tree.size());
        System.out.println("删除后键3对应的元素"+tree.get(3));
    }
}

1.4.4二叉查找树其他便捷方法

1.4.4.1查找二叉树中最小的键

在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最小值，比如我们的树中存储的是学生的排行和姓名数据，那么需要查找出排行最低是多少名？这里我们设计如下两个方法来完成：

public Key min()	找出树中最小的键
private Node min(Node x)	找出指定树x中，最小键所在的结点

 //查找整个树中最小的键
    public Key min(){
        return min(root).key;
    }
    //在指定树x中找出最小键所在的结点
    private Node min(Node x){
        //需要判断x还有没有左子结点，如果有，则继续向左找，如果没有，则x就是最小键所在的结点
        if (x.left!=null){
            return min(x.left);
        }else {
            return x;
        }
    }

1.4.4.2 查找二叉树中最大的键

在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最大值，比如比如我们的树中存储的是学生的成绩和学生 的姓名，那么需要查找出最高的分数是多少？这里我们同样设计两个方法来完成：

public Key max()	找出树中最大的键
public Node max(Node x)	找出指定树x中，最大键所在的结点

//在指定树中查找整个树中最大的键
public Key max(){
    return max(root).key;
}
//需要判断x还有没有右子结点，如果有，则继续向右找，如果没有，则x就是最小键所在的结点
private Node max(Node x){
    if (x.right!= null){
        return max(x.right);
    }else {
        return x;
    }
}

1.5二叉树的基础遍历

很多情况下，我们可能需要像遍历数组数组一样，遍历树，从而拿出树中存储的每一个元素，由于树状结构和线性结构不一样，它没有办法从头开始依次向后遍历，所以存在如何遍历，也就是按照什么样的搜索路径进行遍历的问题。

我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：

1.前序遍历； 先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树

2.中序遍历； 先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树

3.后序遍历； 先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点 如果我们分别对下面的树使用三种遍历方式进行遍历，得到的结果如下：

1.5.1前序遍历

我们在4.4中创建的树上，添加前序遍历的API：

public Queue<Key> preErgodic() :使用前序遍历，获取整个树中所有的键

private void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys) : 使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

实现过程中，我们通过前序遍历，把每个结点的键取出，放入到队列中返回即可。

实现步骤：

1.把当前结点的key放入到队列中；

2.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树

3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树

代码：

//获取整个树中所有的键
    public Queue<Key> preErgodic(){
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        preErgodic(root,keys);
        return keys;
    }

    //获取指定树中x所有的键，并放到keys队列中
    private void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
        if (x == null){
            return;
        }
        //把x结点的key放入到keys中
        keys.enqueue(x.key);
        //递归遍历x结点的左子树
        if (x.left != null){
            preErgodic(x.left,keys);
        }
        //递归遍历x结点的右子树
        if (x.right!=null) {
            preErgodic(x.right,keys);
        }

    }
}

测试代码：

public class BinaryTreeErgodicTest {
    public static void main(String[] args) {
        //创建树对象
        BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
        //往树中添加数据
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");
        //遍历
        Queue<String> keys = tree.preErgodic();
        for (String key : keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key+"------"+value);
        }
    }
}

1.5.2中序遍历

我们在之前创建的树上，添加前序遍历的API：

public Queue midErgodic()：使用中序遍历，获取整个树中的所有键

private void midErgodic(Node x,Queue keys)：使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

实现步骤：

1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树

2.把当前结点的key放入到队列中;

3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树

代码：

//使用中序遍历获取树中所有的键
public Queue midErgodic(){
    Queue<Object> keys = new Queue<>();
    midErgodic(root,keys);
    return keys;
}
//使用中序遍历获取指定树x中所有的键，并存放到key中
private void midErgodic(Node x,Queue keys){
    if (x == null){
        return;
    }
    //先递归把左子树的键放入keys中
    if (x.left != null){
        midErgodic(x.left,keys);
    }
    //把当前结点x的键放到keys中
    keys.enqueue(x.key);
    //在递归，把右子树中的键放到keys中
    if (x.right!=null){
        midErgodic(x.right,keys);
    }
}
//测试中序遍历
    public static void main(String[] args) {
        //创建树对象
        BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
        //往树中添加数据
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");
        //遍历
        Queue<String> keys = tree.midErgodic();
        for (String key : keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key + "------" + value);
        }
    }

1.5.3后序遍历

我们在4.4中创建的树上，添加前序遍历的API：

public Queue afterErgodic()：使用后序遍历，获取整个树中的所有键

private void afterErgodic(Node x,Queue keys)：使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

实现步骤：

1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树

2.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树

3.把当前结点的key放入到队列中;

代码：

//使用后序遍历把整个树的所有的键返回
public Queue<Key> afterErgodic(){
    Queue<Key> keys = new Queue<>();
    afterErgodic(root,keys);
    return  keys;
}
//使用后续遍历，把指定树x中所有的键放入到key中
private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
    if (x == null){
        return;
    }
    //把左子树中所有的键放入到keys中
    if (x.left != null){
        afterErgodic(x.left,keys);
    }
    //通过递归把右子树所有的键放入到keys中
    if (x.right != null){
        afterErgodic(x.right,keys);
    }
    //把x结点的键放入到keys中即可
    keys.enqueue(x.key);
}
//测试后序遍历
    public static void main(String[] args) {
        //创建树对象
        BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
        //往树中添加数据
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");
        //遍历
        Queue<String> keys = tree.afterErgodic();
        for (String key : keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key + "------" + value);
        }
    }

1.6二叉树的层序遍历

所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：

那么层序遍历的结果是：EBGADFHC

我们在4.4中创建的树上，添加层序遍历的API：

public Queue layerErgodic()：使用层序遍历，获取整个树中的所有键

实现步骤：

1.创建队列，存储每一层的结点；

2.使用循环从队列中弹出一个结点：

2.1获取当前结点的key；

2.2如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中

2.3如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中

    //层序遍历，获取整个树所有的键
    public Queue<Key> layerErgodic(){
        //定义两个队列，分别存储树中的键和树中的结点
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        Queue<Node> nodes = new Queue<>();

        //默认往队列中放入根结点
        nodes.enqueue(root);
        while(!nodes.isEmpty()){
            //从队列中弹出一个结点，把key放入kes中
            Node n = nodes.dequeue();
            keys.enqueue(n.key);
            //判断当前结点有没有左子节点，如果有就放入到nodes中
            if (n.left!=null){
                nodes.enqueue(n.left);
            }
//            判断是否有右子节点，如果有就放入nodes中
            if (n.right!= null){
                nodes.enqueue(n.right);
            }
        }
        return keys;
    }

 //测试层序遍历
    public static void main(String[] args) {
        //创建树对象
        BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
        //往树中添加数据
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");
        //遍历
        Queue<String> keys = tree.layerErgodic();
        for (String key : keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key + "------" + value);
        }
    }

1.7 二叉树的最大深度问题

需求： 给定一棵树，请计算树的最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）;

上面这棵树的最大深度为4。

实现：

我们在1.4中创建的树上，添加如下的API求最大深度：

public int maxDepth()：计算整个树的最大深度

private int maxDepth(Node x):计算指定树x的最大深度

实现步骤：

1.如果根结点为空，则最大深度为0；

2.计算左子树的最大深度；

3.计算右子树的最大深度；

4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1

public int maxDepth(){
    return maxDepth(root);
}

private int maxDepth(Node x){
    //如果根结点为空，则最大深度为0
    if (x == null){
        return 0;
    }
    int max = 0;
    int maxL = 0;
    int maxR = 0;
    //计算左子树的最大深度
    if (x.left!=null){
        maxL = maxDepth(x.left);
    }
    //计算右子树的最大深度
    if (x.right != null){
        maxR = maxDepth(x.right);
    }
    //当前树的最大深度 = 左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
    max = maxL>maxR? maxL+1:maxR+1;
    return max;
}

//测试代码
 public static void main(String[] args) {
        //创建树对象
        BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
        //往树中添加数据
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");

        int i = tree.maxDepth();
        System.out.println(i);
    }
}