凸优化中的基本概念
1.1 什么是凸集?
简单来说， 凸集是一个点集， 这个点集有一个性质， 就是在这个集合中任取不同的两个点x和y， 他们之间的线段（包括端点）上的点都属于这个点集，那么就说这个点集是一个凸集。
比如下图中左边的图形是凸集，而右边不是，因为我们可以找到两个点，使它们之间的线段上的点不在集合中
数学上，凸集的定义如下：
给定集合$C$，$\forall x,y\in C$，$0\leq\theta\leq 1$，如果有
$$ \theta x + (1-\theta y)\in C$$
我们就称集合C是凸集，我们把点$\theta x + (1-\theta y)$称为x和y的凸组合。
1.2 什么是凸函数?
假设有一个函数$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$，记其定义域为$\mathcal{D}(f)$，如果$\mathcal{D}(f)$是凸集，且在其中任取两个点$x,y$，满足以下性质：
$$ f(\theta x + (1-\theta y))\leq \theta f(x)+(1-\theta)f(y) $$
那么就称$f$为凸函数。
注意：定义域是凸集这个要求不是必须的，其出发点只是为了使x，y的凸组合有定义
关于凸函数，直观上可以用下图来加深理解：
简单来说，我们在定义域任取两个点x，y， 连接他们得到一条线段，如果这个线段上的点都位于对应函数值上方，我们就说该函数是一个凸函数。
更进一步，如果$x\neq y$且$0<\theta <1$我们称$f$是严格凸的。如果$-f$是凸函数，那么$f$就是凹函数。如果$-f$是严格凸函数，那么$f$就是严格凹函数。
1.3 凸函数的等价判别方法
上面我们讲了什么是凸函数，然而这个定义在现实中很难用于判断一个函数是不是凸的，因此介绍几个等价的定义。
1.3.1 一阶近似
假设函数$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$是可导函数（也就是说$f(x)$的梯度$\nabla_x f(x)$在整个定义域上都存在），则$f$是凸函数当且仅当 其定义域是凸集，且对于所有的$x,y\in\mathcal{D}(f)$有下式成立：
$$ f(y)\geq f(x)+\nabla_x f(x)^T(y-x) $$
我们将$f(x)+\nabla_x f(x)^T(y-x)$叫做对f的一阶近似，其物理意义实际上是经过点x的切平面，我们用这个切平面上的点来近似$f(y)$。这个公式的含义是：如果f是凸函数，那么它的一阶近似值始终位于函数值的下方。
1.3.2 二阶近似
假设函数$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$二阶可导（即海塞矩阵在定义域上都有定义），则f是凸函数当且仅当 其定义域是凸集且其海塞矩阵半正定，即：
$$ \nabla^2_x f(x)\succeq 0$$
可能有些同学忘了海塞矩阵长什么样了，这里提一下。假设我们的变量来自n维空间，即$x\in\mathbb{R}^n$，我们记$x=(x_1,x_2,...,x_n)=\{x_i\}_{i=1}^n$，即由n个变量组成的向量。那么海塞矩阵（记为H吧）是一个$n\times n$的方块矩阵，且
$$ H_{ij}=\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i\partial x_j} $$
也就是说，$H_{ij}$是f(x)分别对$x_i$和$x_j$进行求导两次得到的。
1.4 凸优化问题
上面已经介绍了凸集和凸函数，是时候到凸优化了吧？ 别急，在介绍凸优化概念之前再啰嗦两句。
1.4.1 水平子集(sublevel sets)
由凸函数的概念出发，我们可以引出水平子集（sublevel set）的概念。假定f(x)是一个凸函数， 给定一个实数$\alpha\in\mathbb{R}$，我们把集合
$$ \{x\in\mathcal{D}(f)| f(x)\leq \alpha\}$$
叫做$\alpha-$水平子集。 也就是说$\alpha$水平子集是所有满足$f(x)\leq \alpha$的点构成的集合。利用凸函数性质，我们可以证明水平子集也是凸集：
$$ f(\theta x+(1-\theta y))\leq \theta f(x)+(1-\theta)f(y) \leq \theta \alpha + (1-\theta) \alpha=\alpha $$
水平子集告诉我们，给凸函数添加一个上限，定义域内剩下的点构成的点集还是一个凸集。
1.4.2 仿射函数(affine functions)
数学上，我们把形如
$$ h(x)=Ax+b$$
的函数叫做仿射函数。其中，$A_{n\times m}$，一个向量$b\in\mathbb{R}^m$。直观上理解，仿射函数将一个n维空间的向量通过线性变换A映射到m维空间，并在其基础上加上向量b，进行了平移。
同理，我们可以证明，点集
$$ \{x\in\mathcal{D}(h)| h(x)= 0\}$$
是一个凸集，证明略。
1.4.3 凸优化(convex optimization)
那么回到凸优化问题上来， 什么是一个凸优化问题？
一个凸优化问题可以定义为：
其中f是一个凸函数，C是一个凸集。根据先前介绍过的水平子集等概念，上面问题又可以等价写为：
其中，g(x)是凸函数,h(x)是仿射函数。 也就是说，原约束集C被我们表示为一系列凸集的交集（数学上可以证明，凸集的交集还是凸集）。
1.4.4 局部最优（local optima）和全局最优（global optima）
局部最优：周围小范围 内没有比我小的点。
数学定义：
如果存在$R>0$，对于所有的z：$\left\|x-z\right\|_2<R$，有$f(x)\leq f(z)$，那么就称x是一个局部最优点。
全局最优：我就是整个定义域中的最小的点。
数学定义：
如果对于定义域内的所有z，有$f(x)\leq f(z)$，则称x是全局最优。
现在回到凸优化问题上， 对于凸优化问题，有一个很重要的结论：
对于凸函数来讲， 局部最优就是全局最优。证明如下：
我们用反证法证明。设$x$是一个局部最优，但不是全局最优，于是我们假设全局最优是$z^*$，那么我们有$f(x)>f(z^*)$
由x的局部最优性质，我们有 ：
存在$R>0$，对于所有的z：$\left\|x-z\right\|_2<R$，有$f(x)\leq f(z)$
我们考虑$x$和$z^*$的凸组合：$z=\theta x+(1-\theta)z^*$，无论$z^*$在哪里，我们总可以找到一个$\theta$，使得$z$位于$x$的邻域内，使得$f(x)\leq f(z)$
另一方面，由凸函数性质，我们有：
$$ f(z)=f(\theta x+(1-\theta)z^*)\leq\theta f(x)+(1-\theta)f(z^*)<\theta f(x)+(1-\theta)f(x)=f(x)$$
由此得$f(z)<f(x)$，这与$f(x)\leq f(z)$矛盾， 于是我们证明了如果$x$是局部最优，那么同时它也是全局最优。
1.5 常见凸优化问题
- 线性规划
如果$f$和$g_i$都是仿射函数，则凸优化问题变为了线性规划问题：
- 二次规划
线性规划中，如果$f$变为一个凸二次函数，则凸优化问题变为二次规划：
- 二次约束二次规划
$f$和$g_i$都是凸二次函数
- 半定规划
其中，$X\in\mathbb{S}^n$是一个n维对称方阵，并且我们将它约束为半正定矩阵。$C,A_i$都是对称矩阵。这和前面的问题有点不太相同，前面是优化一个向量，而这里是优化一个矩阵。
参考：
http://cs229.stanford.edu/section/cs229-cvxopt.pdf
