[AcWing 340] 通信线路

二分 + 双端队列广搜

复杂度 \(m \cdot log(r - l) = 1 \times 10^4 \times log(10^9) = 3 \times 10^5\)

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;
const int M = 1e3 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, k;
int h[N], e[N], ne[N], w[N], idx;
int d[M];
bool st[M];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx ++;
}

bool check(int x)
{
    deque<int> q;
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    memset(st, false, sizeof st);
    q.push_back(1);
    d[1] = 0;
    while (q.size()) {
        auto t = q.front();
        q.pop_front();
        if (st[t])
            continue;
        st[t] = true;
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            int dist = w[i] > x;
            if (d[j] > d[t] + dist) {
                d[j] = d[t] + dist;
                if (!dist)
                    q.push_front(j);
                else
                    q.push_back(j);
            }
        }
    }
    return d[n] <= k;
}

void solve()
{
    cin >> n >> m >> k;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < m; i ++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
        add(b, a, c);
    }
    int l = 0, r = 1e9;
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid))
            r = mid;
        else
            l = mid + 1;
    }
    if (l > 1e6)
        cout << "-1" << endl;
    else
        cout << l << endl;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

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1. 抽象问题
   可以将不超过 \(k\) 条路的长度置为 \(0\)，在这样的前提下，求从起点到终点的一条路径，让这条路径上每段路径的最大值最小
2. 二分
   由于要求的是最大值最小，可以考虑用二分，下面考虑如何设置 \(check\) 函数，可以将二分的目标定为：将长度超过 \(x\) 的路径长度置为 \(0\)，求能满足置为 \(0\) 的路径的条数小于等于 \(k\) 的情况下的最小值，将 \(check\) 函数设置为：是否满足在阈值设置为 \(x\) 的条件下，存在一条从起点到终点，经过长度超过 \(x\) 的边的个数不超过 \(k\) 的一条路径，如果存在，就让 \(r = mid\)，否则，就让 \(l = mid + 1\)，在这样的情况下，最终二分的结果就是在满足条件的情况下 \(x\) 所能取到的最小值，其余的没有置为 \(0\) 的路径的最大值为 \(x\)，也就是最优解
3. 双端队列广搜
   在阈值 \(x\) 确定的情况下，要判断是否存在一条从起点到终点，经过长度超过 \(x\) 的边的个数不超过 \(k\) 的一条路径，可以将所有长度大于 \(x\) 的边权值设为 \(1\)，其余边的权值设为 \(0\)，问题就转化为求从起点到终点的最短路，判断最短距离是否不超过 \(k\)，对于 \(0\) 和 \(1\) 两种边权的问题，可以用双端队列广搜，将边权为 \(0\) 的边放到队头，边权为 \(1\) 的边放到队尾，做一遍 \(BFS\) 即可
4. 二分的区间
   左端点 \(l\) 设置为 \(0\)，因为 \(0\) 是有可能取到的，也就是全部免费的情况，右端点 \(r\) 设置为 \(10^9 > 10^6\)，因为路径的长度 \(L\) 最大为 \(10^6\)，可以用大于 \(10^6\) 的数来代表无解的情况（双端队列广搜时，如果不连通，\(d[n]\) 就一直是正无穷，也就是 \(check\) 一直是 \(false\)，最后 \(l\) 会跑到 \(r\) 的位置）