权重衰减（weight decay）与学习率衰减（learning rate decay）

文章来自Microstrong的知乎专栏，仅做搬运。原文链接

1. 权重衰减（weight decay）

L2正则化的目的就是为了让权重衰减到更小的值，在一定程度上减少模型过拟合的问题，所以权重衰减也叫L2正则化。

1.1 L2正则化与权重衰减系数

L2正则化就是在代价函数后面再加上一个正则化项：

$C=C_{0}+\frac{\lambda}{2n}\sum_{w}^{}{w^2}$

其中 $C_{0}$ 代表原始的代价函数，后面那一项就是L2正则化项，它是这样来的：所有参数w的平方的和，除以训练集的样本大小n。λ就是正则项系数，权衡正则项与 $C_{0}$ 项的比重。另外还有一个系数 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ 经常会看到，主要是为了后面求导的结果方便，后面那一项求导会产生一个2，与 $\frac{1}{2}$ 相乘刚好凑整为1。系数 $\lambda$ 就是权重衰减系数。

1.2 为什么可以对权重进行衰减

我们对加入L2正则化后的代价函数进行推导，先求导：

可以发现L2正则化项对b的更新没有影响，但是对于w的更新有影响：

在不使用L2正则化时，求导结果中w前系数为1，现在w前面系数为 $1-\frac{\eta\lambda}{n}$ ，因为η、λ、n都是正的，所以 $1-\frac{\eta\lambda}{n}$ 小于1，它的效果是减小w，这也就是权重衰减（weight decay）的由来。当然考虑到后面的导数项，w最终的值可能增大也可能减小。

另外，需要提一下，对于基于mini-batch的随机梯度下降，w和b更新的公式跟上面给出的有点不同：

对比上面w的更新公式，可以发现后面那一项变了，变成所有导数加和，乘以η再除以m，m是一个mini-batch中样本的个数。

1.3 权重衰减（L2正则化）的作用

作用：权重衰减（L2正则化）可以避免模型过拟合问题。

思考：L2正则化项有让w变小的效果，但是为什么w变小可以防止过拟合呢？

原理：（1）从模型的复杂度上解释：更小的权值w，从某种意义上说，表示网络的复杂度更低，对数据的拟合更好（这个法则也叫做奥卡姆剃刀），而在实际应用中，也验证了这一点，L2正则化的效果往往好于未经正则化的效果。（2）从数学方面的解释：过拟合的时候，拟合函数的系数往往非常大，为什么？如下图所示，过拟合，就是拟合函数需要顾忌每一个点，最终形成的拟合函数波动很大。在某些很小的区间里，函数值的变化很剧烈。这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以只有系数足够大，才能保证导数值很大。而正则化是通过约束参数的范数使其不要太大，所以可以在一定程度上减少过拟合情况。