P1495 【模板】中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪

题目描述
 

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始捉摸让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲满不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。举个例子，假如有16头母猪，如果建了3个猪圈，剩下1头猪就没有地方安家了。如果建造了5个猪圈，但是仍然有1头猪没有地方去，然后如果建造了7个猪圈，还有2头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

输入格式
 

第一行包含一个整数n (n <= 10) – 建立猪圈的次数，解下来n行，每行两个整数ai, bi( bi <= ai <= 1000), 表示建立了ai个猪圈，有bi头猪没有去处。你可以假定ai,aj互质.

输出格式

输出包含一个正整数，即为曹冲至少养母猪的数目。

对于线性同余方程组x≡a_i(mod m_i)(i=1...n)

若m_i 两两互质，则x在mod M下必有一解，M=m₁m₂m₃...m_n

 

构造解的过程：

令M_i=M/m_i

显然(M_i,m_i)=1,所以M_i关于模m_i的逆元存在，设这个逆元为t_i

于是有M_it_i≡1(mod m_i),M_it_i≡0(mod m_j)(j≠i)

进一步有a_iM_it_i≡a_i(mod m_i),a_iM_it_i≡0(mod m_j)(j≠i)

因此解为x=a₁M₁t₁ + a₂M₂t₂ + ...+a_nM_nt_n

 

exgcd求逆元：

Exgcd的作用是解ax+by=gcd(a,b),

令a=M_i ,b=m_i ,因为它们互质，所以方程转化为M_ix+m_i y=1

显然解得的x满足M_ix≡1(mod m_i)。

 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,a[1003],m[1003],M=1; 
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if (!b) x = 1, y = 0;
    else exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
ll inv(ll a,ll b){
    ll x,y;
    exgcd(a,b,x,y);
    return x;
} 
ll CRT(){
    ll M=1,ret=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)M*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ll Mi=M/m[i],ti=inv(Mi,m[i]);
        ret=((ret+a[i]*Mi*ti)%M+M)%M;
    }
    return ret;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
      cin>>m[i]>>a[i];
  cout<<CRT();
} 

 

 

 

 upd:代码已修正。