Trie图（DFA），AC自动机

 

Trie图

 先看一个问题：给一个很长很长的母串 长度为n，然后给m个小的模式串。求这m个模式串里边有多少个是母串的字串。

最先想到的是暴力O(n*m*len(m)) len(m)表示这m个模式串的平均长度。。。

显然时间复杂度会很高。。。

再改进一些，用kmp让每一模式串与母串进行匹配呢？时间复杂度为O((n + len(m))*m)，还算可以。

可是还有没有更快的算法呢？

编译原理里边有一个很著名的思想：自动机。

 

这里就要用到确定性有限状态自动机（DFA）。可以对这m个模式串建立一个DFA，然后让母串在DFA上跑，遇到某个模式串的终结节点则表示这个模式串在母串上。

 

 

就像这个图，母串“nano”在上边跑就能到达终止节点。

 

上边说的是自动机的概念。。。还有一个要用到的是trie树，这个不解释了，网上资料一大堆。

 

这里步入正题：Trie图

trie图是一种DFA，可以由trie树为基础构造出来，
对于插入的每个模式串，其插入过程中使用的最后一个节点都作为DFA的一个终止节点。
如果要求一个母串包含哪些模式串，以用母串作为DFA的输入，在DFA 上行走，走到终止节点，就意味着匹配了相应的模式串。

ps: AC自动机是Trie的一种实现，也就是说AC自动机是构造Trie图的DFA的一种方法。还有别的构造DFA的方法... 

怎么建Trie图？

可以回想一下，在kmp算法中是如何避免母串在匹配过程种指针回溯的？也就是说指针做不必要的前移，浪费时间。

同样的，在trie图中也定义这样一个概念：前缀指针。

这个前缀指针，从根节点沿边到节点p我们可以得到一个字符串S，节点p的前缀指针定义为：指向树中出现过的S的最长的后缀。

 

构造前缀指针的步骤为：根据深度一一求出每一个节点的前缀指针。对于当前节点，设他的父节点与他的边上的字符为Ch，如果他的父节点的前缀指针所指向的节点的儿子中，有通过Ch字符指向的儿子，那么当前节点的前缀指针指向该儿子节点，否则通过当前节点的父节点的前缀指针所指向点的前缀指针，继续向上查找，直到到达根节点为止。

 

 

上图构造出所有节点的前缀指针。

 

相信原来的问题到这里基本已经解决了。可以再考虑一下它的时间复杂度，设M个串的总长度为LEN

所以算法总的时间复杂度为O(LEN + n)。比较好的效率。

模板，HDU 2222：

/*

个人感觉这样写更清晰一点。（动态分配内存）

*/
class Node {
public:
    Node* fail;
    Node* next[26];
    int cnt;
    Node() {
        CL(next, 0);
        fail = NULL;
        cnt = 0;
    }
};

//Node* q[10000000];

class AC_automaton : public Node{
public:
    Node *root;
    int head, tail;

    void init() {
        root = new Node();
        head = tail = 0;
    }

    void insert(char* st) {
        Node* p = root;
        while(*st) {
            if(p->next[*st-'a'] == NULL) {
                p->next[*st-'a'] = new Node();
            }
            p = p->next[*st-'a'];
            st++;
        }
        p->cnt++;
    }

    void build() {
        root->fail = NULL;
        deque<Node* > q;
        q.push_back(root);

        while(!q.empty()) {
            Node* tmp = q.front();
            Node* p = NULL;
            q.pop_front();
            for(int i = 0; i < 26; ++i) {
                if(tmp->next[i] != NULL) {
                    if(tmp == root) tmp->next[i]->fail = root;
                    else {
                        p = tmp->fail;
                        while(p != NULL) {
                            if(p->next[i] != NULL) {
                                tmp->next[i]->fail = p->next[i];
                                break;
                            }
                            p = p->fail;
                        }
                        if(p == NULL)   tmp->next[i]->fail = root;
                    }
                    q.push_back(tmp->next[i]);
                }
            }
        }
    }

    int search(char* st) {
        int cnt = 0, t;
        Node* p = root;
        while(*st) {
            t = *st - 'a';
            while(p->next[t] == NULL && p != root) {
                p = p->fail;
            }
            p = p->next[t];
            if(p == NULL)   p = root;

            Node* tmp = p;
            while(tmp != root && tmp->cnt != -1) {
                cnt += tmp->cnt;
                tmp->cnt = -1;
                tmp = tmp->fail;
            }
            st++;
        }
        return cnt;
    }
}AC;

 

POJ 1204：

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <set>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <map>
#include <sstream>

#define CL(arr, val)    memset(arr, val, sizeof(arr))
#define REP(i, n)       for((i) = 0; (i) < (n); ++(i))
#define FOR(i, l, h)    for((i) = (l); (i) <= (h); ++(i))
#define FORD(i, h, l)   for((i) = (h); (i) >= (l); --(i))
#define L(x)    (x) << 1
#define R(x)    (x) << 1 | 1
#define MID(l, r)   (l + r) >> 1
#define Min(x, y)   x < y ? x : y
#define Max(x, y)   x < y ? y : x
#define E(x)    (1 << (x))

const int eps = 1e-6;
const int inf = ~0u>>2;
typedef long long LL;

using namespace std;

const int N = 1024;
const int LET = 26;
int nNodesCount = 0;

struct CNode {
    CNode * ch[LET];
    CNode * pPre;
    vector<int> bstopNode;    //同一个节点可能会是多个串的终止节点。
    int num;
    CNode() {
        CL(ch, 0);
        bstopNode.clear();
        pPre = NULL;
    }
};

CNode T[100000];
char mp[N][N];
int r, c, m;
bool vis[N] = {false};


int dir[8][2] = {{-1, 0}, {-1, 1}, {0, 1}, {1, 1}, {1, 0}, {1, -1}, {0, -1}, {-1, -1}};

void insert(CNode* p, char* s, int x) {
    int i, l = strlen(s);
    for(i = l - 1; i >= 0; --i) {
        if(p->ch[s[i]-'A'] == NULL) {
            p->ch[s[i]-'A'] = T + nNodesCount++;
        }
        p = p->ch[s[i] - 'A'];
    }
    p->bstopNode.push_back(x);
}

void buildDFA() {
    int i;
    for(i = 0; i < LET; ++i) {
        T[0].ch[i] = T + 1;
    }
    T[0].pPre = NULL;
    T[1].pPre = T;

    deque<CNode *> q;    //....
    q.push_back(T + 1);

    while(!q.empty()) {
        CNode * proot = q.front();
        q.pop_front();
        for(i = 0; i < LET; ++i) {
            CNode* p = proot->ch[i];

            if(p) {
                CNode* father = proot->pPre;
                while(father) {
                    if(father->ch[i]) {
                        p->pPre = father->ch[i];

                        if(p->pPre->bstopNode.size() != 0) {
                            vector<int>::iterator it;
                            for(it = p->pPre->bstopNode.begin(); it != p->pPre->bstopNode.end(); ++it)    //合并终止节点
                                p->bstopNode.push_back(*it);
                        }

                        break;
                    } else
                        father = father->pPre;
                }
                q.push_back(p);
            }
        }
    }
}

bool inmap(int x, int y) {
    if(x < 0 || x >= r || y < 0 || y >= c)  return false;
    return true;
}

struct node {
    int x, y;
    char c;
    node() {}
    node(int a, int b, char d) : x(a), y(b), c(d) {}
} ans[10000];

bool search(int sx, int sy, int d) {
    CNode* p = T + 1;
    int x, y;
    for(x = sx, y = sy; inmap(x, y); x += dir[d][0], y += dir[d][1]) {
        while(true) {
            if(p->ch[mp[x][y] - 'A']) {
                p = p->ch[mp[x][y] - 'A'];
                if(p->bstopNode.size() != 0) {
                    //printf("%d %d %d\n", x, y, p->num);
                    vector<int>::iterator it;
                    for(it = p->bstopNode.begin(); it != p->bstopNode.end(); ++it)
                        if(!vis[*it]) {    //记录多个终止节点
                            ans[*it] = node(x, y, (d + 4)%8 + 'A');
                            vis[*it] = true;
                        }
                    //return true;
                }
                break;
            } else  p = p->pPre;
        }
    }
    return false;
}

void solve() {
    buildDFA();
    int i;    //枚举8整个矩阵的一圈，作为起点走八个方向。
    for(i = 0; i < r; ++i) {
        search(i, 0, 2);
        search(i, 0, 1);
        search(i, 0, 3);
        search(i, c - 1, 6);
        search(i, c - 1, 5);
        search(i, c - 1, 7);
    }
    for(i = 0; i < c; ++i) {
        search(0, i, 4);
        search(0, i, 5);
        search(0, i, 3);
        search(r - 1, i, 0);
        search(r - 1, i, 1);
        search(r - 1, i, 7);
    }
}

int main() {
    //freopen("data.in", "r", stdin);

    int i;
    scanf("%d%d%d", &r, &c, &m);
    for(i = 0; i < r; ++i) {
        scanf("%s", mp[i]);
    }
    char st[N];
    nNodesCount = 2;
    for(i = 0; i < m; ++i) {
        scanf("%s", st);
        insert(T + 1, st, i);
    }
    solve();
    for(i = 0; i < m; ++i) {
        printf("%d %d %c\n", ans[i].x, ans[i].y, ans[i].c);
    }
    return 0;
}