cf1632 Codeforces Round #769 (Div. 2)题解

A ABC

水题0.0

B Roof Construction

构造题，经过实验构造出了0的右边是不超过\(n\)的最大的\(2^k\rightarrow n\)，左边是\(2^k-1,2^k-2,..,1\)

明天起来看看B的证明。

可恶！出题人不写证明，那我也摸了

C Strange Test

给定两个整数\(a,b~(a<b)\)，可以执行下列三种操作，每种操作都可以进行任意次：

• \(a:=a+1\)
• \(b:=b+1\)
• \(a:=a|b\)

要求输出最少需要多少次操作，可以使得\(a,b\)相等？

数据范围：\(1\leq t \leq 10^4;1\leq a<b\leq 10^6;\sum b\leq 10^6\)

猜的结论，是要么\(a:=a+1\)，然后进行按位或操作；要么一直\(b:=b+1\)，然后最后只会进行最多一次按位或操作。所以求出来这两种方法得到的答案，然后比较一下即可。

int x, y;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

void solve(){
	scanf("%d%d", &x, &y);
	int r1 = 0, r2 = 0, res = y - x;
	int a = x, b = y;
	while ((a|b) != b && r1 <= res){
		++a, ++r1;
	}
	if (a != b) ++r1;
	a = x, b = y;
	while ((a|b) != b && r2 <= res){
		++b, ++r2;
	}
	if (a != b) ++r2;
	res = min({res, r1, r2});
	printf("%d\n", res);
}

正解当然不应该这么做！具体怎么做的明天再看。

首先，第三种操作最多用一次。因为，它不会减少\(a\)，并且在操作后一定有\(b\leq a\)。这意味着，在进行操作3后，我们最多只能进行若干次操作2了。

• 如果我们不使用第三种操作，那么答案为\(b-a\)。

• 如果我们先使用了若干次操作1和操作2，然后使用了一次操作3，最后又使用了若干次操作2。

  假设经过这些操作后，\(a\rightarrow a',b\rightarrow b'(a\leq a',b\leq b')\)。

  此时花费的操作数为\((a'-a)+(b'-b)+1+((a'|b')-b')=a'+(a'|b')+(1-a-b)\)。

为了找到最优的答案，我们可以迭代\(a'\)，令\(a'=a:b\)，对于固定的\(a'\)，我们要做的就是最小化\(a'|b'\)，设\(b'\)初始值为0，然后从最高位到最低位迭代，有如下四种情况：

• 当前位\(a'=0,b=1\)，那么当前位\(b'\)填1；
• 当前位\(a'=0,b=0\)，那么当前位\(b'\)填0；
• 当前位\(a'=1,b=1\)，那么当前位\(b'\)填1；
• 当前位\(a'=1,b=0\)，那么当前位\(b'\)填1，终止迭代。

时间复杂度\(O(b\log b)\)或者\(O(b)\)。（第二种情况直接使用位运算把\(O(\log b)\rightarrow O(1)\)。）

嗯，这样就是最优的没有问题！

题目的Bonus：证明最优情况一定为\(a'=a\)，或者\(b'=b\)。（也就是猜的结论）

int a, b;

void solve(){
	scanf("%d%d", &a, &b);
	int mn = b - a;
	for (int ax=a;ax<=b;++ax){
		int bx = 0, cur;
		for (int i=20;i>=0;--i){
			if (b >> i & 1){
				bx += (1 << i);
			}
			else if (ax >> i & 1){
				bx += (1 << i);
				break;
			}
		}
		cur = ax + (ax | bx) - a - b + 1;
		mn = min(mn, cur);
	}
	printf("%d\n", mn);
}

D New Year Concert

有一个数组\(a[n]\)，令\(a[n]\)的长度为\(k\)的前缀子序列\(b[k]=\{a_1,a_2,..,a_{k}\}\)，如果其中有任何一个连续区间满足\(1\leq l\leq r\leq k,\gcd(b_l,b_{l+1},..,b_{r})=r-l+1\)，那么就称这个序列是boring的。

为了避免\(b[k]\)boring，可以进行以下操作若干次，将\(b[k]\)中的一个元素\(b_t\)用\(d\)替换，即\(b_t=d\)。注意，每次操作的\(d,t\)都可以是不同的。定义\(f(b)\)为令数组\(b\)不再boring的最小操作次数，对于所有\(a[n]\)的前缀，求\(f([a_1]),f([a_1,a_2]),..,f([a_1,a_2,..,a_n])\)。

数据范围：\(1\leq n \leq 2\times 10^5;1\leq a_i \leq 10^9\)

嗯……首先，对于固定的左端点\(l\)，随着\(r\)的增大，\(gcd(a_l,..,a_r)\)一定是不递增的。那么就有了一个很重要的性质：固定左端点，满足\(gcd(a_l,..,a_r)=r+l-1\)的\(r\)仅有一个，假如满足条件的为\(r'\)。从这里也可以看出来，boring子序列的数量最多不超过\(n\)个。那么怎样就可以消除这个boring呢？答案是在\((a_l,a_{r'})\)中的任一个数中间，修改\(a_k=\)某一个很大的质数，这个大质数要满足后面没有数是它的倍数，这里不妨设这个大质数\(p=10^9+7\)。

如果我们令\(a_i=p\)，那么所有包含\(i\)的区间，boring都会消失。这是一个标准的贪心问题：找到最小的\(r\)，然后所有包含\(r\)的段不再boring，删除这些段，然后继续操作。

嗯……我看的题解思路差不多，就是固定\(r\)，然后找\(l\)，定义\(pos\)为上一个修改了\(a[pos]\)的右端点，然后循环到\(d\geq i-pos\)时停止，当\(d=i-pos\)时，那就修改当前的\(i\)，则\(pos=i\)。当然，也可以使用二分找到这样的\(d\)。区间查询\(gcd\)，使用线段树即可。

（题解写的代码什么玩意 看不懂QAQ）

int n;
const int N = 2e5 + 5;
int a[N];
struct node{
	int le, ri, v;
};
node seg[N<<2];

int gcd(int a, int b){
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void pushup(int oo){
	seg[oo].v = gcd(seg[ls].v, seg[rs].v);
}

void build(int oo, int le, int ri){
	seg[oo] = {le, ri, 0};
	if (le >= ri){
		seg[oo].v = a[le];
		return ;
	}
	int mid = (le + ri) >> 1;
	build(ls, le, mid);
	build(rs, mid + 1, ri);
	pushup(oo);
}

int query(int oo, int x, int y){
	int le = seg[oo].le, ri = seg[oo].ri;
	if (le >= x && ri <= y){
		return seg[oo].v;
	}
	int res = 0, mid = (le + ri) >> 1;
	if (x <= mid){
		res = gcd(res, query(ls, x, y));
	}
	if (y > mid){
		res = gcd(res, query(rs, x, y));
	}
	return res;
}

int main(void){
	scanf("%d", &n);
	for (int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	build(1, 1, n);
	int res = 0, pos = 0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		int d = query(1, pos + 1, i);
		while (d < i - pos){
			pos++;
			d = query(1, pos + 1, i);
		}
		if (d == i - pos){
			res++, pos = i;
		}
		printf(i==n?"%d\n":"%d ", res);
	}
	return 0;
}

E1&E2 Distance Tree(easy & hard version )

有一棵树，根节点为1，每条边的权值为1。定义\(d(v)\)为从结点1到结点\(v\)的距离。假设从结点\(a\)出发，向某个结点连\(b\)了一条长度为\(x\)的边，定义\(f(x)=\max\{d(v)|1\leq v\leq n\}\)，要求输出\(f(x)\)的最小值，\(1\leq x\leq n\)。

数据范围：\(1\leq n \leq 3\times 10^5\)

首先，应该是从结点1向其他的某个结点连边。然后要求最长的路径最短，可以想到是二分。如果我们连边的话，假设从结点1向结点\(b\)连了一个长度为\(x\)的边，并假设此时所有的边都\(\leq mid\)。那么，所有的结点要么直接按照原来的树走到1，路径长度\(\leq mid\)，要么就是通过新连的边到达1，新的路径长度\(\leq mid\)。那么对于\(mid\)，我们只要检查所有的\(>mid\)的路径能否变成\(\leq mid\)的路径。

设\(rt\)为到结点1距离最远的结点，则\(f[i]\)：和结点1的距离\(\geq i\)时，到结点\(rt\)的最大距离。显然，我们会找到一个原本路径\(\geq i\)的点集中，两点间的最长距离。连接这个最长路的中点\(u\)和结点1，则剩下的所有点的距离都会\(\leq x+\lceil \frac{dis[u][1]}{2} \rceil\)。而当\(x\)过大时，这条路径会变得还不如原本路径，因此要和\(dis[rt][1]\)取一个最小值。

int n, rt;
const int N = 3e5 + 5;
vector<int> ve[N];
int d[N][2], f[N]; 
// d[i][0]:到结点1的距离; d[i][1]:到结点rt的距离 
// f[i]: 和结点1的距离为>=i时,  到结点rt的最大距离 

void init(){
	for (int i=0;i<=n;++i){
		ve[i].clear();
		f[i] = d[i][0] = d[i][1] = 0;
	}
}

void dfs(int u, int pre, int x){
	if (pre) d[u][x] = d[pre][x] + 1;
	for (auto to : ve[u]){
		if (to == pre) continue;
		dfs(to, u, x); 
	}
}

bool check(int x, int v){
	return x >= min(d[rt][0], v + (f[x + 1] + 1) / 2);
}
 
void solve(){
	n = read();
	init();
	int u, v;
	for (int i=1;i<n;++i){
		u = read(), v = read();
		ve[u].push_back(v), ve[v].push_back(u);
	}
	dfs(1, 0, 0);
	int mx = -1;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		if (mx < d[i][0]){
			mx = d[i][0], rt = i;
		}
	}
	dfs(rt, 0, 1);
	for (int i=1;i<=n;++i){
		f[d[i][0]] = max(f[d[i][0]], d[i][1]);
	}
	for (int i=n-1;i>=0;--i){
		f[i] = max(f[i], f[i + 1]); 
	}
	
	for (int i=1;i<=n;++i){
		int L = 0, R = n, ans = n;
		while (L <= R){
			int mid = (L + R) >> 1;
			if (check(mid, i)){
				ans = mid;
				R = mid - 1;
			}
			else L = mid + 1;
		}
		printf("%d ", ans);
	}
	puts("");
}